Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình x-y+1=0
|
Đường tròn (C) có tâm I(-2;1), bán kính R = 3. Do \(M\in d\) nên M(a;1-a) Do M nằm ngoài (C) nên \(IM> R\Leftrightarrow IM^2> 9\Leftrightarrow (a+2)^2+(-a)^2> 9\) \(\Leftrightarrow 2a^2+4a-5> 0 (*)\) Ta có \(MA^2=MB^2=IM^2-IA^2=(a+2)^2+(-a)^2-9=2a^2+4a-5\) Do đó tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình: \((x-a)^2+(y+a-1)^2=2a^2+4a-5\) \(\Leftrightarrow x^2+y^-2ax+2(a-1)y-6a+6=0 \ (1)\) Do A, B thuộc (C) nên tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình \(\Leftrightarrow x^2+y^2+4x-2y-4=0 \ \ \ (2)\) Trừ theo vế của (1) cho (2) ta được \((a+2)x-ay+3a-5=0(3)\) Do tọa độ của A, B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình của đường thẳng \(\Delta\) đi qua A, B. +) Do (E) tiếp xúc với \(\Delta\) nên (E) có bán kính R1=d(E,\(\Delta\)) Chu vi của (E) lớn nhất ⇔ R1 lớn nhất ⇔ d(E,\(\Delta\)) lớn nhất Nhận thấy đường thẳng \(\Delta\) luôn đi qua điểm \(K\left (\frac{5}{2};\frac{11}{2} \right )\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên \(\Delta\) \(\Rightarrow d(E,\Delta )=EH\leq EK=\frac{\sqrt{10}}{2}\) Dấu “=” xảy ra khi \(H=K\Leftrightarrow \Delta \perp EK\) Ta có \(\overrightarrow{EK}=\left ( -\frac{1}{2};\frac{3}{2} \right ), \Delta\)có vectơ chỉ phương \(\vec{u}=(a;a+2)\) Do đó \(\Delta \perp EK\Leftrightarrow \overrightarrow{EK}.\vec{u}=0\Leftrightarrow -\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}(a+2)=0\Leftrightarrow a=-3\)(thỏa mãn (*)) Vậy M(-3;4)là điểm cần tìm
Giải chi tiết:  +) Thay tọa độ điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và \(B\left( {9;6} \right)\) vào đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0\) ta được: \(2 - 1 + 1 = 2 > 0\)và \(9 - 6 + 1 = 4 > 0\) \( \Rightarrow \) Hai điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và \(B\left( {9;6} \right)\) nằm cùng phía so với đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0\). +) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với điểm \(A\) qua đường thẳng \(\Delta \). Xét \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_\Delta } = \left( {1; - 1} \right);\,\,{\vec u_\Delta } = \left( {1;1} \right)\). Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) qua \(A\left( {2;1} \right)\) vuông góc với \(\Delta \) (nhận \({\vec u_\Delta }\left( {1;1} \right)\) làm VTPT) là: \(1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Rightarrow x - 2 + y - 1 = 0 \Rightarrow x + y - 3 = 0\) Gọi \(H = \left( d \right) \cap \left( \Delta \right)\). Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;2} \right)\) Xác định tọa độ điểm \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\left( {2;1} \right)\) qua \(\left( \Delta \right)\). \(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{2 + {x_{A'}}}}{2}\\2 = \frac{{1 + {y_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 0\\{y_{A'}} = 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;3} \right)\) +) Xét \(\Delta A'MB\) ta có: \(MA' + MB \ge A'B\) (bất đẳng thức tam giác) \(\left. \begin{array}{l}A'\left( {0;3} \right)\\B\left( {9;6} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'B = \sqrt {{{\left( {9 - 0} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {90} = 3\sqrt {10} \) +) Ta có: \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B = 3\sqrt {10} \) Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(MA + MB = MA' + MB = A'B = 3\sqrt {10} \Leftrightarrow \)Ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng \( \Rightarrow \)\({\left( {MA + MB} \right)_{\min }} = 3\sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \) Ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng và \(M \in \left( \Delta \right)\). Điều kiện \(1\) : \(M \in \left( \Delta \right) \Rightarrow a - b + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Điều kiện \(2\): Ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng \(\overrightarrow {A'\,\,B} = \left( {9;3} \right) \Rightarrow {\vec u_{_{A'B}}} = \left( {3;1} \right);\,\,{\vec n_{_{A'B}}} = \left( { - 1;3} \right)\) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(A'B\) nhận \({\vec n_{_{A'B}}}\) làm VTPT là: \( - 1.\left( {x - 0} \right) + 3.\left( {y - 3} \right) = 0\) \( \Rightarrow - x + 3y - 9 = 0\) Vì ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng nên \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \(A'B\) suy ra: \( - a + 3b - 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ điều kiện \(1\) và điều kiện \(2\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a - b + 1 = 0\\ - a + 3b - 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 7\) Vậy \(a + b = 7\). Chọn A Cho điểm $N\left( { - 2;3} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng Hình nào sau đây có nhiều trục đối xứng nhất ? Khẳng định nào sau đây sai ?
Những câu hỏi liên quan
Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ : x - y + 1 = 0 và hai điểm A(2;1), B(9;6). Điểm M(a;b) nằm trên D sao cho MA+MB nhỏ nhất. Tính a+b A. -9 B. 9 C. -7 D. 7
Những câu hỏi liên quan
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = 1 3 x + 2 .Viết phương trình đường thẳng ∆ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục là đường thẳng y=x A. y = 3 x − 6 B. y = 3 x + 6 C. y = - 3 x + 6 D. y = - 3 x - 6
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I(1; 2), M(-2; 3), đường thẳng d có phương trình 3x – y + 9 = 0 và đường tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 6 = 0 . Hãy xác định tọa độ của điểm M’, phương trình của đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua a) Phép đối xứng qua gốc tọa độ; b) Phép đối xứng qua tâm I.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng d có phương trình 2x + y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox là A. y - 2x + 3 = 0 B. -2y + x + 3 = 0 C. 2y + x + 3 = 0 D. 2y - x + 3 = 0
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng d có phương trình 2x + y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox là A. y - 2x + 3 = 0 B. -2y + x + 3 = 0 C. 2y + x + 3 = 0 D. 2y - x + 3 = 0
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x − 2y – 6 = 0 a) Viết phương trình của đường thẳng d 1 là ảnh của d qua phép đối xứng qua trục Oy b) Viết phương trình của đường thẳng d 2 là ảnh của d qua phép đối xứng qua đường thẳng Δ có phương trình x + y – 2 = 0 .
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d$ :$x+y+1=0$ , điểm $I\left( 1;-2 \right)$, phép quay ${{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}\left( d \right)=d’$ . Xác định phương trình đường thẳng ${d}’$. C. $-x+y-2=0$ . B. $x-y-1=0$. C. $x-y+3=0$. D. $x-y-3=0$. Hướng dẫn Đáp án D. Ta có: $I\in d\Rightarrow I\in {d}’$ Đường thẳng ${d}’$ có dạng: $x-y+c=0$. Vì ${d}’$ đi qua $I$nên $1+2+c=0$ $\Rightarrow c=-3\Rightarrow {d}’:\,x-y-3=0$ Trang chủ Sách ID Khóa học miễn phí Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023 |
