Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
Bài giảng Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
A. Lý thuyết
I. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
- Bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
- Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 [gọi là giả thiết quy nạp], chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
II. Ví dụ áp dụng
- Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:
1 + 2+ 3+...+ n= n[n+ 1]2 [*]
Lời giải:
Bước 1: Với n = 1 ta có:
Vế trái = 1 và vế phải = 1
Vậy hệ thức đúng với n = 1.
Bước 2: Giả sử hệ thức đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 tức là:
1 + 2+ 3+...+ k= k[k+ 1]2 [1]
Ta cần chứng minh hệ thức đúng với n = k + 1, tức là:
1 + 2+ 3+...+ k + k+1= [k+1][k+ 2]2 [2]
Thật vậy:
Vế trái = 1 + 2 + 3+ … + k + k + 1
Vậy hệ thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
- Ví dụ 2. Chứng minh rằng với , ta có bất đẳng thức
1.3.5....[2n−1]2.4.6. . .2n k2 + 5k + 4
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k + 1 > k2 + 3k.
Suy ra, 2.2k + 1 > 2.[k2 + 3k] hay 2k + 2 > 2k2 + 6k.
Mặt khác: 2k2 + 6k – [k2 + 5k + 4] = k2 + k – 4 ≥ 42 + 4 – 3 = 16 với mọi k ≥ 4.
Do đó, 2k + 2 > 2k2 + 6k > k2 + 5k + 4 hay bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 3. Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng 7n + 5 chia hết cho 6 với n ≥ 1.
Lời giải:
Thật vậy: Với n = 1 thì 71 + 5 = 12 ⁝ 6.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 7k + 5 chia hết cho 6.
Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, nghĩa là phaỉ chứng minh 7k + 1 + 5 chia hết cho 6.
Ta có: 7k + 1 + 5 = 7[7k + 5] – 30.
Theo giả thiết quy nạp thì [7k + 5] ⁝ 6 nên 7[7k + 5] ⁝ 6
Lại có: 30 ⁝ 6 nên [7k + 1 + 5] ⁝ 6
Vậy 7n + 5 chia hết cho 6 với mọi n ≥ 1 .
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
Câu 1. Với mọi số tự nhiên n , tổng Sn=n3+3n2+5n+3 chia hết cho:
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
Đáp án: A
Giải thích:
Với n = 0 ta có: S0=3 chia hết cho 3, ta chứng minh Sn=n3+3n2+5n+3 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
Giả sử mệnh đề trên đúng đến n=k , tức là Sk=k3+3k2+5k+3 chia hết cho 3, ta chứng minh mệnh đề trên đúng đến n=k+1, tức là Sk+1 cũng chia hết cho 3.
Ta có:
Sk+1
=[k+1]3+3[k+1]2+5[k+1]+3
=k3+6k2+14k+12
=[k3+3k2+5k+3]+3[k2+3k+3]
Có: Sk=k3+3k2+5k+3 chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp, 3[k2+3k+3]⋮3, do đó Sk+1⋮3
Vậy Sn⋮3 với mọi số tự nhiên n.
Câu 2. Giá trị của tổng là:
S=1−2+3−4+...−2n+[2n+1]
A. 1
B. 0
C. 5
D. n +1
Đáp án: D
Giải thích:
Với =0 ta có: S=1
Với =1 ta có S =1–2+3=2
Với =2 ta có S=1–2+3–4+5=3
Dự đoán S = n+1* ta sẽ chứng minh *đúng bằng quy nạp.
Với n = 0 đương nhiên * đúng.
Giả sử * đúng với n=k, tức là
Sk=1−2+3−4+...−2k+[2k+1]
=k+1, ta chứng minh * đúng với n=k +1.
Ta có:
Sk+1=1−2+3−4+...2[k−1]
+[2[k+1]+1]
=[1−2+3−4+...−2k+2k+1]
−[2k+2]+[2k+3]
=Sk−[2k+2]+[2k+3]
=k+1−2k−2+2k+3
=k+2
Vậy * đúng với mọi số tự nhiên n, tức là S = n+1.
Câu 3. Với mọi số nguyên dương n , tổng Sn=1.2+2.3+3.4+...+n[n+1] là:
A. n[n+1][n+2][n+3]6
B. n[n+1][n+2]3
C. n[n+1][n+2]2
D. Đáp số khác
Đáp án: B
Giải thích:
Với =1 ta có: S =1.2=2, do đó đáp án A, C sai.
Ta chứng minh Sn=n[n+1][n+2]3[*] đúng với mọi số nguyên dương .
Giả sử * đúng đến , tức là
Sk=1.2+2.3+3.4+...+k[k+1]
=k[k+1][k+2]3
, ta chứng minh [∗] đúng đến n=k+1, tức là cần chứng minh
Sk+1
=1.2+2.3+...+[k+1][k+2]
=[k+1][k+2][k+3]3
Ta có:
Sk+1=1.2+2.3+...+k[k+1]+[k+1][k+2]=k[k+1][k+2]3+[k+1][k+2]= [k+1].k2+2k3+k+2=[k+1][k2+2k+3k+6]3=[k+1][k2+5k+6]3=[k+1][k+2][k+3]3
Vậy * đúng với mọi số nguyên dương n.
Câu 4: Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n+1 chia hết cho 7,∀n∈N*''[*] như sau:
Giả sử * đúng với n=k tức là 8k+ 1 chia hết cho 7
Ta có: 8k+ 1 = 8[8k+1]- 7, kết hợp với giả thiết 8k+ 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k+1+ 1 chia hết cho 7.
Vậy đẳng thức * đúng với mọi n∈N*
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Học sinh trên chứng minh đúng.
B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.
C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.
D. Học sinh không kiểm tra bước 1 [bước cơ sở] của phương pháp qui nạp
Đáp án: D
Giải thích:
Quan sát lời giải trên ta thấy:
Học sinh thực hiện thiếu bước 1: Kiểm tra n=1 thì 81+1=9 không chia hết cho 7 nên mệnh đề đó sai.
Câu 5: Với n∈N* , ta xét các mệnh đề: P :“ 7n + 5 chia hết cho 2”;
Q: “7n+ 5 chia hết cho 3” và R: “7n+ 5 chia hết cho 6”.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 3
B. 0
C. 1
D. 2
Đáp án: A
Giải thích:
Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được 7n + 5 chia hết cho 6.
Thật vậy, với n = 1 ta có: 71 + 5 =12 ⋮ 6
Giả sử mệnh đề đúng với n = k , nghĩa là 7k + 5 chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh 7k+1 + 5 chia hết cho 6.
Ta có: 7k+1 + 5 =7[7k+5]−30
Theo giả thiết quy nạp ta có 7k+5chia hết cho 6, và 30 chia hết cho 6 nên
7[7k+5]−30cũng chia hết cho 6.
Do đó mệnh đề đúng với n=k+1.
Vậy 7n + 5 chi hết cho 6 với mọi n∈N*
Mọi số chia hết cho 6 đều chia hết cho 2 và chia hết cho 3.
Do đó cả 3 mệnh đề đều đúng.
Câu 6: Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n=k thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:
A. n=k−1
B. n=k−2
C. n=k+1
D. n=k+2
Đáp án: C
Giải thích:
Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n=k thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1
Câu 7: Đối với bài toán chứng minh P[n] đúng với mọi n≥p với p là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
A. n=1
B. n=k
C. n=k+1
D. n=p
Đáp án: D
Giải thích:
Đối với bài toán chứng minh P[n] đúng với mọi n≥p với p là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh P[n] đúng với n=p
- Bước 2: Với k≥p là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P[n] đúng với n=k, chứng minh P[n] cũng đúng khi n=k+1.
Từ đó ta thấy, ở bước đầu tiên ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=p chứ không phải n=1.
Câu 8: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P[n] đúng với mọi số tự nhiên n≥p [p là một số tự nhiên]. Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề P[n] đúng với n=k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. k≠p
B. k≥p
C. k=p
D. k