Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức p=a.b có giá trị nguyên lớn nhất

Tìm tất cả các giá trị nguyên của \[x\] để biểu thức \[P = AB\] đạt giá trị nguyên lớn nhất.

A \[x = 24\]

B \[x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}\]

C \[x = 26\]

D \[x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26} \right\}\]

Hướng dẫn Chọn đáp án là: A

Phương pháp giải:

Tính biểu thức: \[P = AB.\] Biểu thức \[P \in \mathbb{Z} \Rightarrow \] tử số chia hết cho mẫu số.

Từ đó tìm các giá trị của \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z}\] và tính được các giá trị của \[P\] và kết luận giá trị \[x \in \mathbb{Z}\] để \[P \in \mathbb{Z}\] và đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \[x \ge 0,\,\,x \ne 25.\]

Ta có: \[P = A.B = \frac{{4\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}{{25 – x}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{4}{{25 – x}}.\]

\[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{4}{{25 – x}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4\,\, \vdots \,\,\left[ {25 – x} \right]\] hay \[\left[ {25 – x} \right] \in U\left[ 4 \right]\]

Mà \[U\left[ 4 \right] = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\} \Rightarrow \left[ {25 – x} \right] \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 4} \right\}.\]

Ta có bảng giá trị:

\[ \Rightarrow \] với \[x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}\] thì \[P \in \mathbb{Z}.\]

Qua bảng giá trị ta thấy với \[x = 24\] thì \[P = 4\] là số nguyên lớn nhất.

Vậy \[x = 24\] thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn A.