Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước cực hay, có lời giải
Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên Tôi]
Lý thuyết cần nhớ: Cho hàm số y = f[x,m] có tập xác định D, khoảng [a;b]D:
Hàm số nghịch biến trên [a;b] y' 0, x [a;b]
Hàm số đồng biến trên [a;b] y' 0, x [a;b]
Ghi nhớ: f'[x] = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K.
Chú ý: Riêng hàm số thì:
Hàm số nghịch biến trên [a;b] y' < 0, x [a;b]
Hàm số đồng biến trên [a;b] y' > 0, x [a;b]
Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến [hoặc nghịch biến] trên khoảng [a;b]:
Bước 1: Đưa bất phương trình f'[x] 0 [hoặcf'[x] 0], x [a;b] về dạng g[x] h[m] [hoặc g[x] h[m]], x [a;b].
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g[x] trên [a;b].
Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.
Dấu tam thức bậc hai
Cho tam thức g[x] = ax2 + bx + c [a 0]
Nếu hàm số f[x] có giá trị nhỏ nhất trên tập D, thế thì:
Nếu hàm số f[x] có giá trị lớn nhất trên tập D, thế thì:
Ví dụ 1: Hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là:
A. m 1
B. m 3
C. -1 m 3
D. m < 3
Lời giải
Chọn B
Tập xác định D = R
Tính đạo hàm y' = 3x2 + 6x + m
Để hàm số đồng biến trên R y' 0 3x2 + 6x + m 0 với mọi x R [*]
Δ' 0 9 - 3m 0 m 3
Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị m để hàm số y = mx3 - x2 + 3x + m - 2 đồng biến trên [-3;0] là
Lời giải
Chọn A
TXĐ: D = R
Ta có y' = 3mx2 - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng [-3;0] khi và chỉ khi:
y' 0, x [-3;0] [Dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm trên [-3;0]]
Ví dụ 3: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Lời giải
Chọn C
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
y' > 0; x D -m2 - m + 2 > 0 -2 < m < 1
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số
Lời giải
Chọn A
TXĐ: D = R
Để hàm số y = f[x] đồng biến trên R y' 0 với mọi x R
Bài 2: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đồng biến trên R.
Lời giải
Chọn C
TXĐ: D = R
Ta có: y' = x2 + 2mx + 4
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y' 0, x R.
Δ' = m2-4 0 -2 m 2.
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
A. m > 2.
B. m 2.
C. m < 1.
D. m 1.
Lời giải
Chọn D
TXĐ: D = R
Hàm số đồng biến trên khoảng [1;+] y' 0; x [1;+]
Ta có y' = x2 + 2[m - 1]x + 2m - 3 = [x + 1][x + 2m - 3] 0; x [1;+]
Do x > 1 nên [x + 1] > 0, nên [x + 2m - 3] 0 với mọi x > 1.
2m - 3 -x; x > 1 2m - 3 -1 m 1.
Bài 4: Cho hàm số
Lời giải
Chọn C
TXĐ: D = R
Ta có y' = -x2 + 2mx + 3m + 2.
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y' 0, x R
Bài 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = -x4 + [2m - 3]x2 + m nghịch biến trên khoảng [1;2] là
A. 5.
B. 9.
C. 7.
D. 3.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định D = R.
Ta có y' = -4x3 + 2[2m - 3]x.
Hàm số nghịch biến trên [1;2] y' 0, x [1;2].
-4x3 + 2[2m - 3]x 0, x [1;2] -4x2 + 4m - 6 0, x [1;2] [do x > 0]
Lập bảng biến thiên của g[x] trên [1;2]. g'[x] = 2x = 0 x = 0
Bảng biến thiên
Vậy p + q = 5 + 2 = 7.
Bài 6: Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
A. 1 < m < 2.
B. 1 m 2.
C. m 2 hoặc m 1.
D. m > 2 hoặc m < 1.
Lời giải
Chọn A
Bài 7: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng [2;+]
Lời giải
Chọn D
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng
Lời giải
Chọn A
Do tanx là hàm đồng biến trên khoảng nên ycbt hàm số đồng biến trên khoảng [0;1]
Bài 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên [-1;1].
Lời giải
Chọn C
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng [-1;1] khi hàm số đồng biến trên khoảng
Bài 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = [m - 3]x - [2m + 1]cosx luôn nghịch biến trên R?
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: D = R.
Ta có: y' = m - 3 + [2m + 1]sinx
Hàm số nghịch biến trên R y' 0, x R [2m + 1]sinx 3-m, x R
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Trường hợp 3:
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi