Tìm m de phương trình có nghiệm thuộc đoạn

[1]

“Bạn cũng làm được như tôi” Nguyễn Chí Phương

1

Bài học 1: [Chuyên đề khảo sát hàm số]

BÀI TỐN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM



Mô hình 1:

Dùng phương pháp bảng biến thiên

Đưa [*] về dạng 𝑔[𝑥] = ℎ[𝑚]. Đặt: 𝑦 = 𝑔[𝑥] [𝐶] [đồ thị [𝐶] có thể là một đường thẳng hay đường
cong] và 𝑦 = ℎ[𝑚] [∆] [đồ thi [∆] là một đường thẳng nằm ngang]. Như vậy ta đã đưa bài toán trên về
bài tốn “ tìm m để [∆] cắt [C] tại 𝑛 điểm phân biệt “. Lập bảng biến thiên của hàm 𝑦 = 𝑔[𝑥] ta có kết
quả sau khi biện luận. Sau đây là một vài ví dụ cho bạn :

Ví dụ 1:

Cho phương trình 𝑡2− 4𝑡 + 3 + 4𝑚 = 0 [1]. Tìm điều kiện 𝑚 để [1] có nghiệm thuộc [−1,1].
Giải. Biến đổi: [1] ⇔ 𝑡2− 4𝑡 + 3 = −4𝑚.

Đặt: 𝑦 = 𝑡2− 4𝑡 + 3 [𝐶] và 𝑦 = −4𝑚 [∆]

Lập bảng biến thiên của hàm 𝑦 = 𝑡2− 4𝑡 + 3 [hình bên] Để [1] có nghiệm 𝑡 ∈ [−1,1] thì [∆] cắt [𝐶] trong [−1,1]. Nhìn BBT suy ra 0 ≤ −4𝑚 ≤ 8 ⇔ −2 ≤ 𝑚 ≤ 0.

Ví dụ 2:

Cho phương trình 3𝑥2+ 4𝑚𝑥 − 4 = 0 [2]. Tìm điều kiện 𝑚 để [2] có nghiệm thuộc [−1,1].

Giải. Biến đổi [2] ⇔4−3𝑥2

𝑥 = 4𝑚. Đặt 𝑦 =4−3𝑥2

𝑥 [𝐶] và 𝑦 = 4𝑚 [∆]Lập bảng biến thiên của hàm 𝑦 =4−3𝑥2

𝑥 [hình bên]

Để [2] có nghiệm trên [−1,1] thì [∆] cắt [𝐶] trong khoảng [−1,1]. Nhìn BBT suy ra [ 4𝑚 ≤ −1

4𝑚 ≥ 1 ⇔ [

𝑚 ≤ −14𝑚 ≥1

4

Nhược điểm của mô hình 1 chính là việc biến đổi về 𝑔[𝑥] = ℎ[𝑚] chỉ thực hiện được với phương trình mà mũ của tham số đồng bậc nhau. Trường hợp ngược lại thì sao? Ta xét tiếp mơ hình 2 sau:



Mơ hình 2: Dùng tam thức bậc 2

Xét phương trình 𝑓[𝑥, 𝑚] = 0 có 2 nghiệm: 𝑥1, 𝑥2 [trường hợp có một nghiệm tương tự]. Kí hiệu 𝑎𝑓 là
hệ số đi với mũ cao nhất của 𝑓. Khi đó để nghiệm của [*] thuộc [𝑎, 𝑏] khi ta có các trường hợp sau:
1. Hai nghiệm đều thuộc [𝑎, 𝑏] tức là: 𝑎 ≤ 𝑥1< 𝑥2≤ 𝑏 ⇔ {

𝑎𝑓𝑓[𝑎] ≥ 0,𝑎𝑓𝑓[𝑏] ≥ 0,

𝑎 ≤𝑆2≤ 𝑏.

2. Môt nghiệm thuộc [𝑎, 𝑏] tức là: [𝑎 ≤ 𝑥𝑥 1≤ 𝑏 ≤ 𝑥2

1≤ 𝑎 ≤ 𝑥2≤ 𝑏⇔ 𝑓[𝑎]𝑓[𝑏] ≤ 0.

Chào mừng các bạn đến với blog “bạn cũng làm được như tơi”. Trong bài học đầu tiên mình xin trình
bày một bài toán khá phổ biến nằm trong phần các bài tốn về hàm số. Đó là dạng “bài tốn tìm điều
kiện của tham số để phương trình có nghiệm” và để giải quyết bài tốn này tơi sẽ đưa ra hai mơ
hình để giải quyết. Nào chúng ta bắt đầu với bài toán: Cho hàm số 𝒇[𝒙, 𝒎] = 𝟎 [*] tìm điều kiện của

“Bạn cũng làm được như tôi” Nguyễn Chí Phương

2

3. Cả hai nghiệm không thuộc[𝑎, 𝑏]tức là: 𝑎 < 𝑏 ≤ 𝑥1< 𝑥2⇔ {

𝑎𝑓𝑓[𝑏] ≥ 0,𝑏 ≤𝑆

2.

𝑣à 𝑥1 < 𝑥2≤ 𝑎 < 𝑏 ⇔ {

𝑎𝑓𝑓[𝑎] ≥ 0,𝑆

2≤ 𝑎.

Ta xét lại ví dụ 1 : Phương trình 𝑡2− 4𝑡 + 3 + 4𝑚 = 0 có ∆′= 1 − 4𝑚

+ Với ∆′= 0 ⇔ 𝑚 =1

4 khi đó [1] có một nghiệm 𝑥 = 2 ∉ [−1,1].
+ Với ∆′> 0 ⇔ 𝑚 0 nên [2] ln có 2 nghiệm phân

biệt. Để [2] có nghiệm thuộc [−1,1] khi một trong các trường hợp sau xảy ra:  Trường hợp 2 nghiệm thuộc [−1,1]

−1 ≤ 𝑥1< 𝑥2≤ 1 ⇔ {

3. 𝑓[−1] ≥ 03. 𝑓[1] ≥ 0−1 ≤𝑆

2≤ 1⇔ {

−4𝑚 − 1 ≥ 04𝑚 − 1 ≥ 0−1 ≤−4𝑚

6 ≤ 1

⇔{

𝑚 ≤ −14 𝑚 ≥1

4 −3

2≤ 𝑚 ≤32

[𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚].  Trường hợp 1 nghiệm thuộc [−1,1]

[−1 ≤ 𝑥𝑥 1≤ 1 ≤ 𝑥2

1 ≤ −1 ≤ 𝑥2≤ 1⇔ 𝑓[−1]𝑓[1] ≤ 0 ⇔ [−4𝑚 − 1][4𝑚 − 1] ≤ 0 ⇔ [

𝑚 ≤ −14𝑚 ≥1

4

Nhận xét: Rõ ràng từ một bài tốn nhưng vẫn có thể có nhiều cách làm…thật ra cịn có cách làm nữa đó

là viết ra nghiệm của [*] sau đó tìm điều kiện để cho nghiệm đó thuộc hay khơng thuộc [𝑎, 𝑏]. Tuy nhiên cách làm này hơi mất công mà lại không hay nếu nghiệm khi tính ra có dạng phức tạp, cồng kềnh. Hy vọng qua 2 mơ hình bài tốn trên các bạn đã có cho mình được một cách làm tốn tốt nhất. Cuối cùng là một vài ví dụ cho bạn ơn tập.

Bài tập 1: Tìm m để phương trình sin22𝑥 + 2𝑚. sin 2𝑥 − 3 = 0 có nghiệm.

Bài tập 2: Tìm m để phương trình 3𝑥2+ 𝑚𝑥 − 4 = 0 có nghiệm trong [−∞, −2] ∪ [2, +∞].

Bài tập 3: Tìm m để phương trình 3[𝑚 − 1]2𝑥2+ 2𝑚𝑥 + 1 = 0 có nghiệm trong [−1,1].

Hướng dẫn

Bài tập 1: Đặt 𝑡 = sin 𝑥 chuyển qua phương trình bậc 2 theo t…lưu ý với điều kiện của 𝑡. Bài tập 2: Sử dụng mơ hình 1 hoặc 2.

Bài tập 3: Sử dụng mơ hình 2 [do 𝑚 khơng đồng bậc].

Đặt

thì

[2]. Để [1] có nghiệm

có nghiệm

.

là phương trình hoành độ giao điểm của

, số nghiệm của phương trình [2] là số giao điểm của [P] và d.

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên phương trình [2] có nghiệm

.

Kết luận với

thì [1] có nghiệm .

Bạn đang xem: Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng lớp 11

Câu 4: Tìm m để phương trình

có nghiệm.

LỜI GIẢI

Nếu là nghiệm của [1], thì từ [1] suy ra

.

Nếu

thì không là nghiệm của [1], khi đó chia hai vế của [1] cho

được:

. Đặt

[2].

Phương trình [2] có nghiệm

Kết luận với

thì phương trình [1] có nghiệm.

Xem thêm: Thuyền Ai Đậu Bến Sông Trăng Đó Có Chờ Trăng Về Kịp Tối Nay, Đây Thôn Vĩ Dạ

Câu 5: Tìm m để phương trình

[1] có nghiệm.

LỜI GIẢI

Đặt

, điều kiện

Khi đó

[2]. Đặt

Ta có

luôn có 2 nghiệm phân biệt

.

Vì có

trong hai nghiệm này bắt buộc phải có một nghiệm thỏa

phương trình [1] luôn có nghiệm

.

Câu 6: Tìm m để phương trình

có nghiệm.

LỜI GIẢI

Đặt

, điều kiện

Khi đó

[2]. Ta có [2] là phương trình hoành độ giao điểm của

, số nghiệm của phương trình [2] là số giao điểm của [P] và d.

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên phương trình [2] có nghiệm .

Kết luận với thì [1] có nghiệm.

Đặt

Phương pháp loại nghiệm khi giải phương trình lượng giác có điều kiện

PHƯƠNG PHÁP

Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đường tròn lượng giác. Ta loại những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện. Với cách này chúng ta cần ghi nhớ:

Điểm biểu diễn cung

và

trùng nhau.

Để biểu diễn cung

lên đường tròn lượng giác ta cho k n giá trị [thường bắt đầu chọn

] nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn.

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần dối chiếu hai họ nghiệm

và

, trong đó

là 2 số cụ thể đã biết, còn

là các chỉ số chạy.

Ta xét phương trình

, với

Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên

[1]. Để giải phương trình [1] ta cần chú ý kết quả sau:

Phương trình [1] có nghiệm

là ước của c.

Nếu phương trình [1] có nghiệm

thì [1] có vô số nghiệm;

Phương pháp 3: Thử trực tiếp

Phương pháp này là ta giải phương trình, rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra.