[1]www.VNMATH.com. Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học. Vài bài toán về phương trình logarit khác cơ số Huỳnh Đức Khánh – 0975.120.189 Giải tích – ĐH Quy Nhơn. Descartes. Phương trình logarit với cơ số khác nhau luôn là vấn đề gây khó dễ cho học sinh khi gặp phải trong các đề thi. Học sinh thường lúng túng khi biến đổi, gặp khó khăn để đưa về cùng cơ số hoặc đưa về các phương trình cơ bản. Tôi viết bài xin đóng góp vài bài mẫu về vấn đề này, nó được dùng các phương pháp: Đổi cơ số, đặt ẩn phụ để đưa về phương trình mũ, biến đổi tương đương, đánh giá hai vế.. Ví dụ 1. Giải phương trình: log2 x + log 3 x + log 4 x = log20 x .. Điều kiện: x > 0 . Với điều kiện trên phương trình tương đương log2 x + log 3 2. log2 x + log 4 2. log2 x = log20 2.log2 x. ⇔ log2 x [ 1 + log3 2 + log4 2 − log20 2 ] = 0 ⇔ log2 x = 0. [do 1 + log 3 2 + log 4 2 − log20 2 ≠ 0 ]. ⇔ x = 1 [thỏa mãn]. Vậy phương trình có nghiệm x = 1 .. Ví dụ 2. Giải phương trình: log 3 [ x 2 − 3x − 13 ] = log2 x .. x 2 − 3x − 13 > 0 3 + 61 Điều kiện: . ⇔x> x > 0 2 Đặt: log2 x = t ⇔ x = 2t .. Phương trình trở thành: log 3 [ 4 t − 3.2t − 13 ] = t. ⇔ 4 t − 3.2t − 13 = 3t t t t 3 1 2 ⇔ 1 = + 13 + 3 . 4 4 4 t. t. [*]. t. 3 1 2 Hàm số y = + 13 + 3 là tổng của các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, 4 4 4 hàm y = 1 là hàm hằng. Do đó phương trình [*] có nghiệm duy nhất. 3. 3. 3. 3 1 2 Ta có: 1 = + 13 + 3 . Suy ra phương trình [*] có nghiệm t = 3 . 4 4 4 Với t = 3 ⇒ x = 23 = 8 [thỏa mãn]. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 8 . Page 1. Lop12.net. [2] www.VNMATH.com. Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học Ví dụ 3. Giải phương trình:. [. log2 1 +. ]. x = log3 x .. Điều kiện: x > 0 . Đặt: log 3 x = t ⇔ x = 3t .. [. Phương trình trở thành: log2 1 +. ]. 3t = t. ⇔ 1 + 3t = 2t t t 3 1 = 1 . ⇔ + 2 2 . [*]. t. t 3 1 là tổng của các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm Hàm số y = + 2 2 y = 1 là hàm hằng. Do đó phương trình [*] có nghiệm duy nhất. 2. 2 3 1 = 1 . Suy ra phương trình [*] có nghiệm t = 2 . Ta có: + 2 2 . Với t = 2 ⇒ x = 32 = 9 [thỏa mãn]. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 9 . Ví dụ 4. Giải phương trình: log 3 [ x 2 + 2x + 1 ] = log2 [ x 2 + 2x ] . [1] x < −2 x 2 + 2x + 1 > 0 Điều kiện: 2 . ⇔ x>0 x + 2x > 0 Đặt: u = x 2 + 2x . Phương trình [1] trở thành: log 3 [ u + 1 ] = log2 u .. [2]. Xét phương trình [2]. Ta đặt: log2 u = t ⇔ u = 2t . Phương trình [2] trở thành: log 3 [ 2t + 1 ] = t ⇔ 2t + 1 = 3t t t 2 1 ⇔ + = 1 . 3 3 t. t. [3]. 2 1 Hàm số y = + là tổng của các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm y = 1 3 3 là hàm hằng. Do đó phương trình [3] có nghiệm duy nhất. 1. 1. 2 1 Ta có: + = 1 . Suy ra phương trình [3] có nghiệm t = 1 . 3 3 x = −1 − 3 1 2 [thỏa mãn]. Với t = 1 ⇒ u = 2 = 2 ⇒ x + 2x = 2 ⇔ x = −1 + 3 Vậy phương trình có nghiệm x = −1 − 3; x = −1 + 3 . Page 2. Lop12.net. [3] www.VNMATH.com. Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học Ví dụ 5. Giải phương trình: log 3 [ x + 1 ] + log5 [ 3x + 1 ] = 4 . x + 1 > 0 1 Điều kiện: ⇔ x>− . 3 3x + 1 > 0 Đặt: log 3 [ x + 1 ] = t ⇔ x + 1 = 3t , suy ra: 3x + 1 = 3.3t − 2 .. Phương trình trở thành: t + log5 [ 3.3t − 2 ] = 4 ⇔ log5 [ 3.3t − 2 ] = 4 − t. ⇔ 3.3t − 2 = 54− t 625 ⇔ 3.3t − 2 = t 5 t t ⇔ 3.15 − 2.5 = 625 t t 1 1 ⇔ 3 = 625 + 2 . 15 3 t. t. 1 1 Hàm số y = 625 + 2 là tổng của các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm 15 3 y = 3 là hàm hằng. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. 2. 2. 1 1 Ta có: 3 = 625 + 2 . Suy ra phương trình có nghiệm t = 2 . 3 15 Với t = 2 ⇒ x + 1 = 32 ⇔ x = 8 [thỏa mãn]. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 8 .. Cách khác: ● Kiểm tra x = 8 là nghiệm của phương trình. ● Nếu x > 8 thì. log 3 [ x + 1 ] > log3 [ 8 + 1 ] = 2 log5 [ 3x + 1 ] > log5 [ 3.8 + 1 ] =. ⇒ log [ x + 1 ] + log [ 3x + 1 ] > 4 . 3 5 2 . ● Nếu x < 8 thì. log 3 [ x + 1 ] < log3 [ 8 + 1 ] = 2 log5 [ 3x + 1 ] < log5 [ 3.8 + 1 ] =. ⇒ log 3 [ x + 1 ] + log5 [ 3x + 1 ] < 4 . 2 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 8 .. Page 3. Lop12.net. [4] www.VNMATH.com. Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học Ví dụ 6. Giải phương trình: log2 [ x2 − 5x + 4 ] + log5 [ x − 4 ] = 1 − log 1 [ 5x − 5 ] . 2. x − 5x + 4 > 0 Điều kiện: x − 4 > 0 ⇔ x > 4. 5x − 5 > 0 Với điều kiện trên phương trình tương đương log2 [ x − 1 ][ x − 4 ] + log5 [ x − 4 ] = 1 + log2 5 [ x − 1 ] 2. ⇔ log2 [ x − 1 ] + log2 [ x − 4 ] + log5 [ x − 4 ] = 1 + log2 5 + log2 [ x − 1 ] ⇔ log2 [ x − 4 ] + log5 2. log2 [ x − 4 ] = 1 + log2 5 ⇔ [ 1 + log5 2 ] log2 [ x − 4 ] = 1 + log2 5 ⇔ log2 [ x − 4 ] =. 1 + log2 5 1 + log5 2. ⇔ log2 [ x − 4 ] = log2 5 ⇔ x−4 = 5 ⇔ x = 9 [thỏa mãn]. Vậy phương trình có nghiệm x = 9 .. Ví dụ 7. Giải phương trình: log 3x + 7 [ 4x2 + 12x + 9 ] + log2x + 3 [ 6x 2 + 23x + 21 ] = 4 . [1] 3 < x ≠ −1 . 2 Với điều kiện trên phương trình tương đương. Điều kiện: −. 2. log 3x + 7 [ 2x + 3 ] + log2x + 3 [ 3x + 7 ][ 2x + 3 ] = 4. ⇔ 2 log 3x + 7 [ 2x + 3 ] + log2x + 3 [ 3x + 7 ] + 1 = 4 ⇔ 2 log 3x + 7 [ 2x + 3 ] +. 1 = 3. log 3x + 7 [ 2x + 3 ]. [2]. Đặt: t = log3x + 7 [ 2x + 3 ] . Phương trình [2] trở thành. t = 1 1 2 . 2t + = 3 ⇔ 2t − 3t + 1 = 0 ⇔ t = 1 t 2 • Với t = 1 ⇒ log 3x + 7 [ 2x + 3 ] = 1 ⇔ 2x + 3 = 3x + 7 ⇔ x = −4 [loại]. 1 1 • Với t = ⇒ log3x + 7 [ 2x + 3 ] = ⇔ 2x + 3 = 2 2 1 Vậy phương trình có nghiệm x = − . 4 Page 4. Lop12.net. x = −2 [ loai ] . 3x + 7 ⇔ x = −1 4. [5] www.VNMATH.com. Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học Ví dụ 8. Giải phương trình: log x [ x + 1 ] = lg 2 .. Điều kiện: 0 < x ≠ 1 . ● Nếu 0 < x < 1 thì x + 1 > 1 , ta có log x [ x + 1 ] < log x 1 = 0 = lg1 < lg 2 . ● Nếu x > 1 thì x + 1 > x , ta có log x [ x + 1 ] > log x x = 1 = lg10 > lg 2 . Vậy phương trình vô nghiệm. Ví dụ 9. Giải phương trình: log2 x + log 3 [ x + 1 ] = log 4 [ x + 2 ] + log5 [ x + 3 ] . Điều kiện: x > 0 . ● Kiểm tra x = 2 là một nghiệm của phương trình. ● Nếu 0 < x < 2 thì x x+2 x +1 x + 3 > >1 > > 1, và 2 4 3 5 x x+2 x+2 ⇒ log2 x > log 4 [ x + 2 ] . Suy ra > log2 log2 > log2 2 4 4 x +1 x+3 x+3 ⇒ log 3 [ x + 1 ] > log5 [ x + 3 ] . log 3 > log 3 > log5 3 5 5 Suy ra log2 x + log 3 [ x + 1 ] > log 4 [ x + 2 ] + log5 [ x + 3 ] . ● Tương tự cho trường hợp x > 2 , ta được log2 x + log 3 [ x + 1 ] < log 4 [ x + 2 ] + log5 [ x + 3 ] . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 . Ví dụ 10. Giải phương trình: log2 [ log 3 x ] = log 3 [ log2 x ] .. Điều kiện: x > 1 . log 3 x = 2t [1] log2 [ log3 x ] = t . Đặt: log2 [ log 3 x ] = log 3 [ log2 x ] = t . Khi đó ⇔ log 3 [ log2 x ] = t log2 x = 3t [2] t t t 2 log 3 x log x 2 2 2 Suy ra: = t ⇔ = ⇔ log 3 2 = ⇔ t = log 2 [ log 3 2 ] . 3 log x log 3 3 3 2. x. 3. log2 [ log3 2 ] t. Từ [1] suy ra: x = 32 = 32. 3. .. Page 5. Lop12.net. [6] www.VNMATH.com. Chuẩn bị cho kỳ thi Đại học Bài tập tương tự. Giải các phương trình sau:. [. 4. ]. 1. log7 [ x + 2 ] = log5 x .. 2. 2 log6. 3. log 3 [ x 2 − 1 ] = log2 x .. 4. log2 [ x + 1 ] − log3 [ x + 1 ] = 0 .. x+. x = log4 x .. 2. 3. 5. log6 [ x 2 − 2x − 2 ] = log5 [ x2 − 2x − 3 ] . 6. log2 x = log 3 x . ------------------------------ C m hhoọcïc ssiinnhh đđaạtït kkeếtát qquuaả û ttoốtát ttrroonngg kkyỳ ø tthhii ssaắpép ttơớiùi ---------------------------Chhuúcùc ccaácùc eem. Page 6. Lop12.net. [7]
19/06/2021 649
C. x=log23 và log254
Đáp án chính xác
Phương trình đã cho tương đương với:
Đáp án cần chọn là: C.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn log4a=log6b=log9a+b. Tính tỉ số ab
Xem đáp án » 19/06/2021 747
Phương trình log43.2x-1=x-1 có hai nghiệm là x1;x2 thì tổng x1+x2 là:
Xem đáp án » 19/06/2021 743
Tìm tập nghiệm S của phương trình log2x2-4x+3=log24x-4
Xem đáp án » 19/06/2021 382
Phương trình log2x-3+2log43.log3x=2 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Xem đáp án » 19/06/2021 254
Tập hợp nghiệm của phương trình log3950+6x2=log3350+2x là:
Xem đáp án » 19/06/2021 222
Tìm tích các nghiệm của phương trình 2-1x+2+1x-22=0
Xem đáp án » 19/06/2021 215
Phương trình log2017x+log2016x=0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Xem đáp án » 19/06/2021 199
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 4x2-5.2x2+4=0
Xem đáp án » 19/06/2021 171
Tính P tích tất cả các nghiệm của phương trình log2x-logx64=1
Xem đáp án » 19/06/2021 159
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 53x-2=15-x2 bằng:
Xem đáp án » 19/06/2021 130
Cho số thực x thỏa mãn 2=5log3x. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xem đáp án » 19/06/2021 128
Phương trình log3x+1log3x=3 có số nghiệm hữu tỉ là:
Xem đáp án » 19/06/2021 122
Khi đặt 3x=t thì phương trình 9x+1-3x+1-30=0 trở thành
Xem đáp án » 19/06/2021 115
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có nghiệm?
Xem đáp án » 19/06/2021 102
Cho a, b, x là các số thực dương khác 1 thỏa: 4loga2x+3logb2x=8logax.logbx [1]. Mệnh đề [1] tương đương với mệnh đề nào sau đây:
Xem đáp án » 19/06/2021 102