Giới thiệu bài học
Bài giảng Áp dụng phép quy nạp toán học vào giải toán giúp các em nắm được nguyên lý quy nạp toán học và áp dụng nó vào các bài toán chứng minh các đẳng thức.
Nội dung bài học
1/ Nguyên lý quy nạp toán học
Giả sử $P\left[ n \right]$ là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n. Nếu cả hai điều kiện $\left[ i \right]$ và $\left[ ii \right]$ dưới đây được thỏa mãn thì $P\left[ n \right]$ đúng với mọi $n\ge m$ [m là số tự nhiên cho trước].
$\left[ i \right]P\left[ m \right]$ đúng.
$\left[ ii \right]$Với mỗi số tự nhiên $k\ge m,$ nếu $P\left[ k+1 \right]$ đúng.
Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học[ hay gọi tắt là phương pháp quy nạp].
2/ Phương pháp giải toán
Để chứng minh một mệnh đề $P\left[ n \right]$ phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi $n\ge m$ [m là số tự nhiên cho trước], ta thực hiện theo hai bước sau:
Bước 1: Chứng minh rằng $P\left[ n \right]$ đúng khi $n=m$.
Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, $k\ge m$. Giả sử $P\left[ n \right]$đúng khi $n=k$, ta sẽ chứng minh $P\left[ n \right]$cũng đúng khi $n=k+1$. Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng $P\left[ n \right]$đúng với mọi số tự nhiên $n\ge m.$
3/ Bài tập mẫu
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
a]. $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +n\left[ 3n+1 \right]=n{{\left[ n+1 \right]}^{2}}$
b]. $\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n\left[ n+1 \right]\left[ n+2 \right]}=\frac{n\left[ n+3 \right]}{4\left[ n+1 \right]\left[ n+2 \right]}$
Lời giải.
a]. $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +n\left[ 3n+1 \right]=n{{\left[ n+1 \right]}^{2}}$ [1]
Với n = 1: Vế trái của [1] $=1.4=4$; Vế phải của [1] \[=1{{[1+1]}^{2}}=4\]. Suy ra Vế trái của [1] = Vế phải của [1]. Vậy [1] đúng với n = 1.
Giả sử [1] đúng với \[n=k\]. Có nghĩa là ta có: \[1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left[ 3k+1 \right]=k{{\left[ k+1 \right]}^{2}}\text{ }\left[ 2 \right]\]
Ta phải chứng minh [1] đúng với \[n=k+1\]. Có nghĩa ta phải chứng minh:
$1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left[ 3k+1 \right]+\left[ k+1 \right]\left[ 3k+4 \right]=\left[ k+1 \right]{{\left[ k+2 \right]}^{2}}$
Thật vậy \[\underbrace{1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left[ 3k+1 \right]}_{=k{{\left[ k+1 \right]}^{2}}}+\left[ k+1 \right]\left[ 3k+4 \right]=k{{\left[ k+1 \right]}^{2}}+\left[ k+1 \right]\left[ 3k+4 \right]\]
\[=\left[ k+1 \right]{{\left[ k+2 \right]}^{2}}\][đpcm].
Vậy [1] đúng khi \[n=k+1\]. Do đó theo nguyên lí quy nạp, [1] đúng với mọi số nguyên dương n.
b]. $\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n\left[ n+1 \right]\left[ n+2 \right]}=\frac{n\left[ n+3 \right]}{4\left[ n+1 \right]\left[ n+2 \right]}$ [1]
Với n = 1: Vế trái của [1] $=\frac{1}{1.2.3}=\frac{1}{6}$; Vế phải của [1] \[=\frac{1[1+3]}{4[1+1][1+2]}=\frac{1}{6}\].
Suy ra Vế trái của [1] = Vế phải của [1]. Vậy [1] đúng với n = 1.
Giả sử [1] đúng với \[n=k\]. Có nghĩa là ta có: \[\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{k\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]}=\frac{k\left[ k+3 \right]}{4\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]}\text{ }\left[ 2 \right]\]
Ta phải chứng minh [1] đúng với \[n=k+1\]. Có nghĩa ta phải chứng minh:
\[\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{k\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]}+\frac{1}{\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]\left[ k+3 \right]}=\frac{\left[ k+1 \right]\left[ k+4 \right]}{4\left[ k+2 \right]\left[ k+3 \right]}\text{ }\left[ 2 \right]\]
Thật vậy \[\underbrace{\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{k\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]}}_{=\frac{k\left[ k+3 \right]}{4\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]}}+\frac{1}{\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]\left[ k+3 \right]}\]
\[=\frac{k\left[ k+3 \right]}{4\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]}+\frac{1}{\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]\left[ k+3 \right]}=\frac{1}{4\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]}\left[ k\left[ k+3 \right]+\frac{4}{k+3} \right]\]
\[=\frac{{{k}^{3}}+6{{k}^{2}}+9k+4}{4\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]\left[ k+3 \right]}=\frac{{{\left[ k+1 \right]}^{2}}\left[ k+4 \right]}{4\left[ k+1 \right]\left[ k+2 \right]\left[ k+3 \right]}=\frac{\left[ k+1 \right]\left[ k+4 \right]}{4\left[ k+2 \right]\left[ k+3 \right]}\][đpcm].
Vậy [1] đúng khi \[n=k+1\]. Do đó theo nguyên lí quy nạp, [1] đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 2: Với mỗi số nguyên dương n, gọi ${{u}_{n}}={{9}^{n}}-1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì ${{u}_{n}}$luôn chia hết cho 8.
Lời giải.
Ta có \[{{u}_{1}}={{9}^{1}}-1=8\] chia hết cho 8 [đúng].
Giả sử ${{u}_{k}}={{9}^{k}}-1$chia hết cho 8.
Ta cần chứng minh \[{{u}_{k+1}}={{9}^{k+1}}-1\] chia hết cho 8.
Thật vậy, ta có \[{{u}_{k+1}}={{9}^{k+1}}-1={{9.9}^{k}}-1=9\left[ {{9}^{k}}-1 \right]+8=9{{u}_{k}}+8\]. Vì \[9{{u}_{k}}\] và 8 đều chia hết cho 8, nên \[{{u}_{k+1}}\] cũng chia hết cho 8.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì \[{{u}_{n}}\] chia hết cho 8.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta luôn có: ${{2}^{n+1}}>2n+3$ [*]
Lời giải.
Với \[n=2\] ta có ${{2}^{2+1}}>2.2+3\Leftrightarrow 8>7$ [đúng]. Vậy [*] đúng với \[n=2\].
Giả sử với \[n=k,k\ge 2\] thì [*] đúng, có nghĩa ta có: ${{2}^{k+1}}>2k+3$ [1].
Ta phải chứng minh [*] đúng với \[n=k+1\], có nghĩa ta phải chứng minh:
${{2}^{k+2}}>2[k+1]+3$
Thật vậy, nhân hai vế của [1] với 3 ta được: ${{2.2}^{k+1}}>2\left[ 2k+3 \right]\Leftrightarrow {{2}^{k+2}}>4k+6>2[k+1]+3$. Vậy ${{2}^{k+2}}>2[k+1]+3$ [đúng].
Do đó theo nguyên lí quy nạp, [*] đúng với mọi số nguyên dương \[n\ge 3\].