Phương pháp giải hàm số lượng giác
|
Với Cách giải phương trình lượng giác cơ bản Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phương trình lượng giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.  - Phương trình sinx = a (1) ♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm. ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a. Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là x = α + k2π, k ∈ Z và x = π-α + k2π, k ∈ Z. Nếu α thỏa mãn điều kiện Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là x = arcsina + k2π, k ∈ Z và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z. Các trường hợp đặc biệt: - Phương trình cosx = a (2) ♦ |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm. ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a. Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là x = α + k2π, k ∈ Z và x = -α + k2π, k ∈ Z. Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết α = arccos a. Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là x = arccosa + k2π, k ∈ Z và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z. Các trường hợp đặc biệt: - Phương trình tanx = a (3) Điều kiện: Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết α = arctan a. Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là x = arctana + kπ,k ∈ Z - Phương trình cotx = a (4) Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z. Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết α = arccot a. Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là x = arccota + kπ, k ∈ Z Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau: a) sinx = sin(π/6) c) tanx – 1 = 0 b) 2cosx = 1. d) cotx = tan2x. Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos2 x - sin2x =0. b) 2sin(2x – 40º) = √3 Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau: Đáp án và hướng dẫn giải Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau: a) sinx = sinπ/6 b) c) tanx=1⇔cosx= π/4+kπ (k ∈ Z) d) cotx=tan2x Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos2x-sin2x=0 ⇔cos2x-2 sinx cosx=0 ⇔ cosx (cosx - 2 sinx )=0 b) 2 sin(2x-40º )=√3 ⇔ sin(2x-40º )=√3/2 Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin(2x+1)=cos(3x+2) b) ⇔ sinx+1=1+4k ⇔ sinx=4k (k ∈ Z) Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệm Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó: ⇔sinx = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z) Bài 1: Giải các phương trình sau a) cos(3x + π) = 0 b) cos (π/2 - x) = sin2x Lời giải: Bài 2: Giải các phương trình sau a) sinx.cosx = 1 b) cos2 x - sin2 x + 1 = 0 Lời giải: Bài 3: Giải các phương trình sau a) cos2 x - 3cosx + 2 = 0 b) 1/(cos2 x) - 2 = 0. Lời giải: Bài 4: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x. Lời giải: Bài 5: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx + (√3+1)cosx = 2√2 sin2x Lời giải:
1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Phương pháp chung: - Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \(A.B = 0\) hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,… - Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện (nếu có). 2. Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác Phương trình dạng \(a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = 0\left( {a,b,c \in R;a \ne 0} \right)\), ở đó \(f\left( x \right) = \sin u\left( x \right)\) (hoặc \(\cos u\left( x \right),\tan u\left( x \right),\cot u\left( x \right)\)). Phương pháp chung: - Bước 1: Đặt \(t = f\left( x \right)\) và đặt điều kiện cho \(t\). - Bước 2: Thay \(t\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \(t\), kết hợp điều kiện tìm \(t\). - Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = t\) tìm \(x\) và kết luận (chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \(x\)). 3. Phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) Phương trình dạng: \(a\cos x + b\sin x = c\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\). Phương pháp chung: Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình) - Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\). - Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng: \(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\). - Bước 3: Đặt \(\cos \alpha = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\). - Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\). Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận): - Bước 1: Xét \(x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) có là nghiệm hay không. - Bước 2: Xét \(x \ne \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) thì đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) ta được phương trình bậc hai theo \(t:\left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0\). - Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(t \Rightarrow x\) và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm. 4. Phương trình đẳng cấp đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) Phương trình dạng \({a_0}{\sin ^n}x + {a_1}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... + {a_{n - 1}}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_n}{\cos ^n}x = 0\). Phương pháp chung: - Bước 1: Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 1\), thay vào phương trình xem có thỏa mãn hay không. - Bước 2: Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^n}x \ne 0\) và đặt \(\tan x = t\). - Bước 3: Giải phương trình ẩn \(t\) tìm nghiệm \(t\). - Bước 4: Giải phương trình \(\tan x = t\) tìm nghiệm, kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm. 6. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với \(\sin x\) và \(\cos x\) Phương trình dạng \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\). Phương pháp chung: - Bước 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\). - Bước 2: Thay vào phương trình tìm \(t\). - Bước 3: Giải phương trình \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = t\) để tìm \(x\). |
