Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ tới các bạn kiến thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian như khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng trùng nhau, khoảng cách giữa hai mặt phẳng chéo nhau. Giúp các bạn có thể nắm được phương pháp nhanh chóng nhé
Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng là gì?
Khoảng cách từ một điểm M lên mặt phẳng [P] là khoảng cách giữa M và hình chiếu của nó trên mặt phẳng [P]. Ký hiệu là d[M,[P]].
Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng [P], [Q] song song trong không gian. Phương trình của chúng đều có thể đưa về dạng:
- [P]: ax + by + cz + d = 0
- [Q]: ax + by + cz + d = 0
Với [a² + b² + c² >0 và d d]
Khi đó giả sử M[α;β;γ] thuộc mặt phẳng [P] ta có: aα + bβ + cγ = -d. Khoảng cách giữa [P] và [Q] chính là khoảng cách giữa M và [Q]. Do đó khoảng cách giữa 2 mặt phẳng [P] và [Q] sẽ là:
Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là gì?
Cho hai mặt phẳng [P] và [Q] song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng [P] và [Q] là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng [P] đến mặt phẳng [Q] hoặc ngược lại. Ký hiệu là d[[P],[Q]].
Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song với nhau với phương trình lần lượt là [α]: ax + by + cz + d1 = 0 và [β]: ax + by + cz + d2 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được xác định theo công thức
Nếu d1= d2.thì khoảng cách giữ hai mặt phẳng trùng nhau là d[[α]; [β]] = 0
Các dạng bài tập về khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, có hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là [α]: x 2y + z + 1 = 0 và [β]: x 2y + z + 3 = 0. Hãy tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng?
Lời giải
Ta có:
[α]: x 2y + z + 1 = 0
[β]: x 2y + z + 3 = 0
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng song song [P]: x + y + 3z + = 0 và [Q]: x + y + 3z + 5 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng [P] và [Q].
Lời giải:
Ví dụ 3: CCho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, AD. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng[MNP] và [ACC].
Lời giải:
Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD nên MN là đường trung bình của tam giác ADC.
MN // AC [1]
+ Do M; P lần lượt là trung điểm của AD và AD nên MP // AA // DD
Lại có: CC // AA nên MP // CC [2]
Từ [1] và [2] suy ra: [ MNP] // [ACC]
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do ABCD.ABCD là hình lăng trụ tứ giác đều nên DO [AACC] và d[D; [ACC]] = DO.
Ví dụ 4: Hai mặt phẳng [α] // [β], cách nhau 3. Biết phương trình của mỗi mặt phẳng là [α]: 2x 5y 3z + 1 = 0 và [β]: ax + by + cz + d2 = 0. Hãy xác định các hệ số của phương trình mặt phẳng [β].
Lời giải:
Vì [α] // [β] => a = 2; b = 5 và c = 3
Mặt khác: d[[α]; [β]] = 3
Phương trình mặt phẳng [β]: 2x 5y 3z + [3381] = 0
Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=4,AD=3. Mặt phẳng [ACD] tạo với mặt đáy một góc 60. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và AD. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng [MNP] và [ACC]
Lời giải:
Nhận xét [ACC] [ACCA]
Gọi O = AC BD, I = MN BD
+ Ta có M và N lần lượt là trung điểm của AD và DC nên MN là đường trung bình của tam giác ADC và MN // AC [1]
+ Tương tự: M, P lần lượt là trung điểm của AD và AD nên MP là đường trung bình của hình thang ADDA
MP // AA // PP [2] .
Từ [1] và [2] suy ra: [MNP] // [ACC]
Mà O thuộc mp[ ACC] nên d[[MNP]; [ACC] ] = d[O; [ACC]]
+ Ta có: OI AC và OI AA [vì AA [ABCD] và OI [ABCD]]
OI [ACCA] nên d[O; [ACC]] = OI
=>
Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Khoảng cách giữa [ACB] và [DAC] là bao nhiêu?
Lời giải:
+ Ta có : AC // AC và BC // AD
=> [ACB] // [DAC]
Lại có: D mp[DAC] nên d[[ACB], [DAC]] = d[D, [ACB]] = d[B, [ACB]]
+ Vì BA = BB = BC = a và nên hình chóp B.ACB là hình chóp tam giác đều
+ Gọi I là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ACB.
BG [ACB]
Khi đó ta có: d[B, [ACB]] = BG
+ Vì tam giác ACB đều cạnh a2 nên
Theo tính chất trọng tâm ta có:
Trong tam giác vuông BGB có:
Hy vọng với những kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng mà chúng tôi đã trình bày chi tiết phía trên có thể giúp bạn nắm được phương pháp tìm khoảng cách trong các bài tập nhé