Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc với nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b
|
Phương pháp dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b B1: Tìm mặt phẳng [α] chứa đường thẳng a và [α]⊥ b B2: Tìm giao điểm I của [α] và đường thẳng b B3: Kẻ IH vuông góc với đường thẳng a. Thì IH là đường vuông góc chung |
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện S. ABC có SA vuông góc [ABC], tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
Hướng dẫn giải
|
SA vuông góc với mặt phẳng [ABC]. → SA ⊥ BC [ hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau] Từ A kẻ AM vuông góc với BC [1] SA ⊥ [ABC] → SA ⊥ AM [2] Từ [1] và [2] chúng ta có AM là đoạn vuông góc chung d[SA,BC] = AM Vì tam giác ABC vuông cân tại A. AM vừa là đường cao, đường trung tuyến. AM = 1/2BC = a |
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa các cặp đoạn thẳng đối diện nhau.
Hướng dẫn giải:
|
Tứ diện đều thì các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau Chứng minh AB vuông góc CD. Tam giác BCD đều cạnh a. → BH ⊥ CD Tam giác ACD đều cạnh a. → AH ⊥ CD → CD ⊥ [ABH] ⇒ CD ⊥ AB Vì có CD ∩ [ABH] = H. Kẻ thêm HK vuông góc AB CD ⊥ [ABH] ⇒ CD ⊥ HK . Chúng ta có HK là đoạn vuông góc chung |
Tính độ dài HK = d[ AB, CD]
Xét tam giác ABH.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SAmp[ABCD] và SA= a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1, SB và AD.
2, BD và SC.
Hướng dẫn giải:
|
Ta có DA mp[SAB] tại A. Gọi AH là đường cao của tam giác vuông SAB thì AH là đường vuông góc chung của SB và AD. Vậy d[SB;AD] = AH. Vì tam giác SAB vuông cân nên |
Ta có BD ⊥ mp[SAC] tại tâm O của hình vuông ABCD. Kẻ OK ⊥ SK [K ∈ SC] thì OK là đường vuông góc chung của BD và SC.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AC=BC=AD=BD=a ; AB=c và CD=c’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
Hướng dẫn giải
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Hướng dẫn giải
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc SC và [ABCD] là 300. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
Bài giải
B1: Cho mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
SA ⊥ [ABCD] → SA ⊥ BD [1], ABCD là hình vuông → BD ⊥ AC [2].
Từ [1] và [2] ta có BD ⊥ [SAC] → BD ⊥ SC. [ Chọn mặt phẳng [SAC] chứa SC và vuông góc với BD]
B2: Tìm giao điểm của BD và [SAC]: BD ∩ [SAC] = O
B3: Kẻ OI vuông góc với SC → OI là đường vuông góc chung của BD và SC
OI = d [BD,SC]
Chú ý: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.
Bài tập tương tự: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC, AC và SB
Câu hỏi: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Trả lời:
* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
Ký hiệu:
* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.
* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Được minh họa bằng hình vẽ như sau:
Ký hiệu:d [a,b] = d [a,[Q]] = d [b,[P]] = d [[P],[Q]]. Trong đó, [P] và [Q] là hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a, b và [P] // [Q].
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng là một trong những mảng kiến thức quan trọng mà các bạn cần đặc biệt chú ý. Nhất là những thí sinh đang ôn luyện, chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới.
Và để giúp các bạn có thêm tài liệu học tập, ôn luyện. Dưới đâyTop lời giải sẽ chia sẻ với các bạn những kiến thức cơ bản cần thiết nhất về chủ đề này. Khoảng cách giữa hai đường thẳng là gì? Phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng như thế nào? Hãy cùng theo dõi nhé!
1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian
Trong không gian hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là: Trùng nhau; Cắt nhau; Song song; Chéo nhau.
Trường hợp hai đường thẳng trùng nhau hay cắt nhau thì ta có thể coi khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Nếu hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Còn trong trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung. Trong đó đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng nối hai điểm trên hai đường thẳng chéo nhau đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng đó. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là tồn tại và duy nhất.
2. Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
Ký hiệu:
* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.
*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Được minh họa bằng hình vẽ như sau:
Ký hiệu:d [a,b] = d [a,[Q]] = d [b,[P]] = d [[P],[Q]]. Trong đó, [P] và [Q] là hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a, b và [P] // [Q].
Phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
Để có thể tính được khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì chúng ta có thể sử dụng một trong các cách dưới đây:
Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b, khi đó d [a,b] = MN.
Tuy nhiên, khi dựng đoạn vuông góc chung MN, chúng ta có thể sẽ gặp phải các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo vừa vuông góc với nhau
Khi gặp trường hợp này, chúng ta sẽ làm như sau:
- Bước 1: Chọn mặt phẳng [α] chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I
- Bước 2: Trong mặt phẳng [α] kẻ đường thẳng IJ vuông góc với ∆’
Khi đó IJ chính là đoạn vuông góc chung và d [∆, ∆’] = IJ.
- Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau
- Bước 1: Bạn chọn một mặt phẳng[α]chứa ∆’ và song song với ∆
- Bước 2: Bạn dựngdlà hình chiếu vuông góc của ∆ xuống[α]bằng cách lấy điểm M thuộc ∆ dựng đoạn MN vuông góc với[α]. Khi đó,dsẽ là đường thẳng đi qua N và song song với ∆
- Bước 3: Bạn gọi H là giao điểm của đường thẳngdvới ∆’, dựng HK // MN
Khi đó, HK chính là đoạn vuông góc chung vàd[∆, ∆’] = HK = MN.
Hoặc bạn làm như sau:
- Bước 1: Chọn mặt phẳng[α]vuông góc với ∆ tại I
- Bước 2: Bạn tìm hình chiếudcủa ∆’ xuống mặt phẳng[α]
- Bước 3: Trong mặt phẳng[α], dựng IJ vuông góc vớid, từ J bạn dựng đường thẳng song song với ∆ và cắt ∆’ tại H, từ H dựng HM // IJ
Khi đó, HM chính là đoạn vuông góc chung vàd[∆, ∆’] = HM = IJ.
Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng[α]chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó,d[∆, ∆’] = d [∆’,[α]].
Phương pháp 3: Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa 2 đường thẳng. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đó chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng cần tìm.
Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ
* MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi:
* Nếu trong mặt phẳng[α]có hai véc tơ không cùng phương thì:
Như vậy, trên đây là tổng hợp những kiến thức về khoảng cách giữa 2 đường thẳng. Cũng như phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chi tiết nhất. Hy vọng rằng sau khi đọc xong bài viết này, bạn có thể hiểu rõ hơn cũng như làm tốt các dạng bài tập liên quan đến mảng kiến thức này nhé. Cảm ơn các bạn đã quan tâm theo dõi! Chúc các bạn học tập thật tốt!