1.1.Định nghĩa
Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực có đường tác dụng nằm trong một mặt
phẳng và đồng quy tại một điểm [h.2-1a].
Theo hệ quả của tiên đề 2, ta có thể trượt các lực đó trên đường tác dụng của
nó về điểm đồng qui O, nên hệ lực đồng qui có thể thay bằng hệ lực đặt tại một
điểm [h.2-1b].
1.2.Hợp lực của hai lực đồng a]
qui
1.2.1.Qui tắc hình bình hành
lực
F1
b]
F2
A1
A2
O A3
F3
Giả sử có hai lực F1 và F2
đồng qui tại O. Theo tiên đề 3,
hợp lực R là đường chéo của
hình bình hành lực [h.2-2]:
F2
F1
O
F3
Hình 2-1
R = F1 + F2
Để xác định R ta phải xác định trị số, phương chiều của nó.
Về trị số:
R2 = F12 + F22 2F1F2 cos[180 α] .
Vì cos[180- α] = - cosα nên cuối cùng ta có: R = F12 + F22 + 2F1F2 cosα
[2-1]
Các trường hợp đặc biệt
Hai lực cùng phương, cùng chiều [h.2-3a], ta có α = 0, nên R = F1 + F2.
Hai lực cùng phương, ngược chiều [h.2-3b], ta có α = 180o, nên R = | F1 - F2| .
Hai lực vuông góc nhau [h.2-3c], ta có α = 90o, nên R =
F12 + F22
Về phương chiều:
Ap dụng hệ thức trong tam giác, ta có:
F
F
R
R
=
=
=
sinα1 sinα 2 sin[180o α] sinα
F1
O
C
R
α2
α1
α
F1
a]
A
F2
R
O
b
F2
O
F1
R
F2
B
c]
F1
O
Hình 2-2 và Hình 2-3
7
R
F2
F1
sinα và
R
sinα1 =
sinα2 =
F1
sinα
R
trong đó: góc α1 và α2 xác định phương và chiều của R
1.2.2.Qui tắc tam giác lực
Ta có thể xác định hợp lực R bằng cách: từ mút A của lực F1 đặt lực F2' song
song, cùng chiều và có cùng trị số với lực F2 . Rõ ràng hợp lực R có gốc đặt tại O,
mút trùng với mút C của lực F2' .
R
= F1 + F2'
Ta thấy rằng: hợp lực R đã khép kín tam giác lực tạo bởi hai lực thành phần
F1 và F2 [h.2-4]. R .
1.2.3.Quy tắc hình hộp lực
R'
a]
ω
b]
Fx
Fy
Fx
ϕ
F
Fy
Fz
F
R
c]
ω
d]
Fx
ω
Fy
Fz
Fz
R1
R2
Hình 2-7
Ở trên ta đã xét trường hợp các lực phẳng đồng quy tác dụng lên vật. Trong
kỹ thuật, nhiều khi các chi tiết chịu tải trọng là những lực đồng quy không nằm
trong cùng một mặt phẳng như lực cắt gọt khi tiện [h.2-7].
Fz .
Trong mặt phẳng chứa lực R và trục Z: R là hợp lực của các lực F vaø
R = F + Fz
Về trị số
R = F 2 + Fz2
8
Trong mặt phẳng ngang, lực F có thể phân tích thành hai lực thành phần Fx
hướng theo trục chi tiết, thành phần Fy hướng theo bán kính vng góc với trục:
F = Fx + Fy
Về trị số
y
F = Fx2 + Fy2
Từcác biểu thức trên cho ta cơng thức tính
lực cắt R theo quy tắc hình hộp lực [h.2-7a]:
R = Fx + Fy + Fz
Về trị số
R=
F'2
Y2
Ry
R
Fx2 + Fy2 + Fz2
Trong quá trình tiện mặt đầu bằng dao vai
[h.2-7c] có ϕ = 90o, khi đó Fy = 0. Lực cắt sẽ là:
R1 = Fx + Fz
Về trị số
F'n
F2
F1
Fn
O
X1
R1 = Fx2 + Fz2
X2
Rx
Xn
x
Hình 2-9
Trong q trình tiện rãnh bằng dao cắt
[h.2-7d] có ϕ = 0o, khi đó lực hướng trục là F x =
0. Lực cắt sẽ là:
R 2 = Fy + Fz
Về trị số
R2 = Fy2 + Fz2
Theo tiên đề tương tác, dao sẽ tác dụng lên chi tiết
lực R' có trị số
bằng
lực
, hướng ngược lại và đặt vào y
R
chi tiết. Lực R' cũng được phân tích thành các lực thành
phần theo quy tắc hình hộp lực.
Y
1.3.Hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui
Có hai phương pháp để tìm hợp lực của hệ lực O
phẳng đồng quy, đó là phương pháp đa giác lực [còn gọi
là phương pháp hình học] và phương pháp giải tích [còn
gọi là phương pháp chiếu].
F
α
X
x
Hình 2-8
Ở đây ta chỉ nghiên cứu hệ lực bằng phương pháp giải tích.
1.4.Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng
quy
Muốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì trò số
của hợp lực R phải bằng không. Khi đó đa giác lực tự
đóng kín, nghóa là đa giác lực có mút của lực cuối
cùng trùng với gốc của lực đầu.
9
Ta có kết luận: Điều kiện cần và đủ để một hệ
lực phẳng đồng qui cân bằng là đa giác lực tự đóng
kín.
2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng giải tích
2.1.Chiếu một lực lên trục tọa độ
Gọi hình chiếu của lực F lên hai trục
vng góc Oxy là X và Y, ta có [h.2-8]:
X = ± F cosα
Y = ± F sinα
[2-1]
trong đó: α - góc nhọn hợp bởi lực F với trục x.
Hình chiếu lấy dấu [+] khi chiều từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của
mút cùng chiều [+] với trục, lấy dấu [-] trong trường hợp ngược lại.
Đặc biệt
Nếu F vng góc, chẳnng hạn với trục Ox thì X = 0 và Y = ± F.
Nếu F song song, chẳng hạn với trục Ox thì X = ± F còn Y = 0.
Ngược lại, khi biết hình chiếu X, Y của lực F trên hai trục vng góc Oxy,
ta hồn tồn xác định được nó:
Về trị số:
F=
X 2 +Y 2
[2-3]
Về phương chiều:
cosα =
X
F
và sinα =
hoặc tgα =
Y
F
Y
X
[2-4]
2.2.Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích
Cho hệ lực phẳng đồng qui [ F1 , F2 Fn ] có hình chiếu tương ứng trên các
trục của hệ tọa độ vng góc là [X1, X2,, Xn] và [Y1, Y2,, Yn] [h.2-9].
Ta có hợp lực:
R = F1 + F2 + + Fn = Σ F
Chú ý
n
Đáng lẽ phải viết là
F
k nhưng để cho gọn, ta quy ước viết Σ Fk hoặc Σ F .
k =1
Theo php tính vectơ, thì: Hình chiếu của vectơ tổng bằng tổng đại số hình
chiếu của của các vectơ thành phần.
Tổng quát, ta có:
10
R x = X1 + X2 + + X n = ΣX
R y = Y1 + Y 2 + + Y n = ΣY
[2-5]
Về trị số:
R = R 2x + R 2y = [ΣX ]2 + [ΣY ]2
[2-6]
Về phương chiều:
cosα =
R
Rx
ΣX
ΣY
=
và sinα = y =
R
R
R
R
[2-7]
Ví dụ 2-1
Hệ lực phẳng đồng quy gồm các lực có trị số F 1 = F2 = 100N; F3 = 150N;
F4 = 200N; góc giữa các lực cho trên hình vẽ. Hãy xác định hợp lực của hệ lực
đó
Bài giải
Chọn hệ trục xOy như hình vẽ. Hình chiếu của hợp lực lên các trục là:
Rx = ΣX = F1 + F2 cos50° - F3 cos 60° -F4 cos20°
= 100 + 100.0,6428 150.0,5 200.0,9397 = -98,7N
Ry = ΣY = -F2 sin50° - F3 sin60° + F4 sin20°
= -100.0,766 150.0,866 + 200.0,3420 = -138,1N.
Trị số của hợp lực R :
R =
170N
R 2x + R 2y
=
2
2
[-98,7]
+ [-138,1]
y
F4
Phương và chiều của hợp lực R :
F1
O
Ry
138,1
=
= 1,4
tgα =
R x 98,1
α
Suy ra α = 54° 33.
R
2.3.Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy
o
o
80
o
50
70
F3
Hình ví dụ 2-1
Tương tự như
trên, muốn hệ lực đồng qui cân
bằng thì hợp lực R phải bằng 0.
Mà theo phương pháp giải tích, thì:
R = [ΣX ]2 + [ΣY ]2
Vì [ΣX ]2 vaø[ΣY ]2 là những số dương cho nên điều kiện cân bằng là
11
F2
x
ΣX = 0
ΣY = 0
[2-8
Vậy: điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là tổng hình
chiếu của các lực lên hai trục tọa độ đều phải bằng khơng.
Hệ phương trình cân bằng này dùng để giải các bài toán cân bằng dưới tác
dụng của hệ lực phẳng đồng quy.
Ví dụ
Ong trụ đồng chất có trọng lượng P = 60N đặt trên máng ABC hồn tồn
nhẵn và vng góc ở B. Mặt BC của máng hợp với mặt nằm ngang góc α = 60°.
Hãy xác định các phản lực của máng lên ống ở hai điểm tiếp xúc D và E.
Bài giải
Trọng lượng P của ống trụ có phương thẳng đứng, hướng về tâm của trái đất
và có trị số P = mg = 6.10 = 60N. Mặt khác, ống trụ tựa trên
haimặt nghiêng tại
các điểm tiếp xúc D và E nên có các phản lực tương ứng N D, N E, các phản lực
này vng góc với các mặt nghiêng BD và BE.
Như
vậy, ống trụ được cân bằng
dưới tác dụng của ba lực đồng quy tại O: [ P , N D, N E].
Ta có thể giải bài tốn này theo hai phương pháp: hình học và giải tích.
a]Phương pháp hình học
Vì hệ lực [ P , N D, N E] cân bằng nên tam giác lực của hệ tự đóng kín. Ta dựng
tam giác lực đó bằng cách: từ một điểm I bất
kỳ
vẽ
vectơ
lực
, từ gốc I và mút K
P
của P kẻ các đường thẳng song song với N D, N E, chúng cắt nhau tại L. Tam giác
IKL chính là tam giác lực cần dựng. Trên tam giác lực, đi theo chiều của P ta xác
định được chiều của N D và N E. Độ dài mỗi cạnh của tam giác lực biểu thị trị số
của các lực tương ứng. Từ đó, ta có:
ND = Pcos30o = 60
NE = Psin30o = 60
3
= 51,96N
2
1
= 30N
2
b]Phương pháp giải tích
Chọn hệ trục x, y như hình vẽ và lập phương trình cân bằng của hệ lực đồng
qui.
ΣFx = ND - Psin60o = 0
[1]
x
ΣFy = -Pcos60 + NE = 0
o
[2]
Giải hệ phương trình này, ta có:
NE = 30N và ND = 51,96N.
y
A
C
O
o
α=60
B
12
o
o
E
P
NE
60
NE
ND
o
30
D
o
30
I
Hình ví dụ 2-2
P
30
K
K
ND
Từ ví dụ trên, ta có thể tóm tắt cách giải một bài toán hệ lực phẳng đồng quy
gồm các bước sau:
Bước 1: Phân tích bài tốn
Đặt các lực tác dụng lên vật cân bằng được chọn, bao gồm lực đã cho và các
phản lực liên kết.
Bước 2: Lập phương trình cân bằng [ở đây chỉ trình bày phương pháp giải tích vì
đó là phương pháp thường gặp nhất]
Chọn hệ trục tọa độ vng góc thích hợp với bài tốn, có thể chọn tùy ý sao
cho bài tốn được giải
đơn giản nhất [các trục
song song hoặc vng
góc với nhiều lực của hệ
nhất].
Viết
phương trình
A
O
B
F2
F1
cân bằng
R
Hình 2-10
bài tốn và
nhận định kết quả [cần
thử lại hoặc liên hệ với đầu bài xem kết quả có phù hợp khơng]
Giải
Trường hợp giải ra lực có trị số âm, cần đổi chiều ngược lại.
Chương 3: Hệ lực phẳng song song - ngẫu lực Momen của một lực
đối với một điểm.
1. Hệ lực phẳng song song.
13
1.1Định nghĩa
Hệ lực phẳng song song là hệ lực nằm trong cùng một mặt phẳng và có các
đường tác dụng song song.
1.2.Hợp lực hai lực song song cùng chiều
F2 song song cùng chiều đặt tại hai điểm A và B của
Giả sử có hai lực F1 và
vật, ta cần phải tìm hợp lực R của chúng [h.2-10]. Ở đây, ta khơng chứng mình
mà hỉ nêu kết luận:
Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực, có:
Phương song song và cùng chiều với hai lực đã cho;
Trị số bằng tổng trị số của hai lực, tức:
R = F1 + F2
Điểm đặt chia trong đường nối điểm đặt của hai lực thành hai đoạn tỉ lệ nghịch
với trị số của hai lực ấy, tức là
F
F
R
= 1 = 2
AB OB OA
[2-10]
Chú ý:
Vectơ hợp lực R luôn luôn nằm ở trong đoạn AB và ở gần lực có trị số lớn.
Ví dụ
Ở hai đầu thanh AB dài 0,6m người ta treo hai vật có tải
trọng PA = 60kN và PB = 20kN. Xác đònh điểm đỡ O để thanh
AB nằm ngang.
Bài giải
Để cho thanh AB nằm ngang thì điểm đỡ O chính là
điểm đặt hợp lực R của PA , PB .
Theo cơng thức hợp lực của hai lực song song cùng chiều, ta có:
R = PA + PB = 60 + 20 = 80kN
Và
PB
R
=
AB
OA
OA =
AB x PB
0,6x2
= 0,15m
=
R
80
Ví dụ
Trên dầm AB dài l = 7m treo vật nặng có trong lượng P = 14kN. Hỏi phải treo vật
cách gối A bao nhiêu để áp lực tác dụng lên gối A có trị số là FA = 5kN?
a]
b]
O
A
PA
B
PB14
Hình ví dụ 2-3
B
O
A
PB
PA
R
Bài giải
Nếu áp lực lên gối A là FA = 5kN thì áp lực lên gối B là:
FB = P - FA = 14 5 = 9kN
Theo công thức hợp lực của hai lực song song
cùng chiều, ta có:
x=
F
P
= B
AB
x
AB x FB
7x9
=
= 4,5m
P
14
F2
1.3.Hợp lực của hai lực song song ngược chiều
F2 song song ngược
Giả sử có hai lực F1 và
chiều
đặt ở A và B [F1 > F2]. Ta phải tìm hợp lực
R của chúng [h.2-11]. Ở đây, ta cũng không
chứng minh mà chỉ nêu kết luận:
có:
C
A
B
R
F1
Hình ví dụ 25
Hai lực song song ngược chiều khơng cùng trị số có hợp lực là một lực R ,
Phương song song và cùng chiều với lực có trị số
lớn;
Trị số bằng hiệu trị số của hai lực:
R = F1 F2
Điểm đặt chia ngoài đường nối điểm đặt
của hai lực đã cho thành hai đoạn tỉ lệ
nghịch với trị số của hai lực đã cho ấy [nằm
phía ngồi lực có trị số lớn]
F
F
R
= 1 = 2
AB OB OA
O
A
B
x
FA
P
FB
Hình ví dụ 2-4
[2-11]
Trường hợp đặc biệt, nếu F1 = F2 thì R
= F1 F2 = 0, hệ lực thu về ngẫu lực, ta sẽ xét ở phần thứ III.
F2
Ví dụ
O
Hai lực song song ngược chiều có F 1 =
30kN, F2 =20kN, AB = 0,2m. Hãy xác định hợp
lực của 2 lực ấy.
A
B
R
Bài giải
Theo cơng thức hợp lực song song ngược
chiều, ta có:
R = F1 F2 = 30 20 = 10kN.
15
F1
Hình 2-11