§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax + b = 0 A. Kiến thức cần nhó Khi giải phương trình ta thường thực hiện các phép biến đổi đã học dể đưa phương trình đã cho về dạng ax + b = 0, từ đó giải phương trình. B. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Phương trình X — 3 = —X + y có tập nghiệm là: Ví dụ 2. Điền vào chỗ trống [...] đế có câu trả lời đúng cho phương trình ẩn x: a] Phương trình [2m-3]x-3 = ỳ có nghiệm duy nhất khi ... Phương trình [2m-3]X-3 = ý vô nghiệm khi ... Giải 2m - 3 0 => m * 2m-3 = 0=>m = —. 2 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau a] 2x-3--x + l = -7; 4 Giải b] [x + l]-[2x-3] + ^[4x + l] = 5. 3 2x -3- — X + 1 = -7 2x- — X = -5 5x = -20 X = -4; 4 9 [x + l]-[2x-3]+ 1 [4x + l] = 5 x + l-2x + 3 + 2x + 2 = 5 X Ví dụ 4. Giải các phương trình sau : x + 2009 x + 2010 x-2011 x + 2012 a] 10 = 0; 4[3x-2] + 10[x-3] = 5[x-7]-40x+ 10 12x4-1 Ox -5x + 4ƠX = 8 + 30-35 + 10 57x = 13 X = 57 c. Hướng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa b] 2t-3 + 5t = 4t+ 12 2t + 5t-4t = 12 + 3 3t = 15 o t = 5 Bài 10. Gi di: Sứa lại: a] 3x - 6 + X = 9 - X 3x + x + x = 9 + 6 5x = 15 X = 3 Bài 11. Gidi a] 3x - 2 = 2x - 3 3x -2x = -3 + 2 X = -1. 3 - 4u + 24 + 6u = u + 27 + 3u -4u + 6u- ti-3u = 27-3-24 —2u = o. u = 0. Phirơng trình có nghiệm u = 0. 5-[x -6] = 4[3-2x] 5-x +.6 = 12-8x -X + 8x = 12-5-6 7x = 1 X = 4 7 Phương trình có nghiêm X = — . 7 Ll] -6[1.5-2x] = 3[-15 + 2x] -2[1,5 - 2x] =-1 5 + 2x -3 + 4x =-15 + 2x 4x -2x = -15 + 3 2x = -12 X = -6. Phương trình có nghiệm X = -6. e] 0.1-2[0,5t-0.1] = 2[t-2.5]-0,7 0.1-t+ 0,2 = 2t-5-0,7«-t-2t = -5-0,7-0,1-0,2 o -3t = -6 t = 2. Phương trình có nghiệm t = 2. . 3 ’5’ 5 3 . 155.1 20 _ c — X —-— — = x—x-x = —- + ——x = — X = 5 . 288 2 8828 Bài 12. Ciuii : a] Phương trình có nghiệm X = 5. 5.X-2 5-3x 2[5x - 2] = 3[5- 3x] lOx - 4 := 15-9x o lOx + 9x = 15 + 4 ol9x=19ox = l. Phương trình có nghiệm X = 1. , Ấ 10 + 3 , 6 + 8x b] ——-=1+ ■ 12 9 3[1 Ox + 3] = 36 + 4[6 + 8x] 30x + 9 = 36 + 24-t 32x 51 32x - 30x = 9 - 36 — 24 2x = —51 X = ——. 7x 16-x ■ + 2x = c] Phương trình có nghiệm X = 5 «5[7x-l] + 30.2x = 6[16-x] 35x - 5 + 60x = 96-6x 35x + 60x + 6x = 96 + 5 lOlx = 101 X = 1. Phương trình có nghiệm X = 1. . —5x + 6 4[0.5-1.5x] = —-7 3 12[0.5-l,5x] = -5x + 6 6-18x = -5x + 6 -5x + 18x = 6-6 13x = 0 X = 0. Phương trình có nghiệm X = 0. Bài 13. Hưứng ílíỉn : Việc chia hai vế cho X không cho phương trình mới tương dương. Giái phương trình bàng cách chuyến vế và đặt thừa số chung đè’ có phương trình x[ - l] - 0. Bài 14. Đáp số: -l là nghiệm cứa [3]; 2 là nghiệm của [l]t -3 là nghiệm của [2]. Bài 15. Giải : Quãng đường xe máy đi được là: 32 + 32x [km] Quãng dường ô tô đi được là: 48x [km] Ta có phương trình: 32 + 32x = 48x. Bài 16. Đá/] số: Phương trình là 3x + 5 = 2x + 7. Bài 17. Gicii: a] 7 + 2x = 22 - 3x 2x+ 3x = 22-7 5x = 15 x = 3. Phương trình có nghiệm X = 3. 8x - 3 =5x + 12 8x-5x'= 12 + 3 3x = 15 X = 5 . Phương trình có nghiệm X - 5. X-12 + 4x = 25 +2x-1 X + 4x -2x = 25-1 +12 o 3x == 36 X = 12 . Phương trình có nghiệm X = 12. X+ 2x + 3x -19 = 3x + 5 X + 2x + 3x-3.x = 5 + 19 3x = 24 X = 8 . Phương trình có nghiệm X = 8. 7-[2x + 4] = -[x + 4] 7 - 2x - 4 = -X - 4 -2x + x = -4-7 + 4x = 7. Phương trình có nghiệm X = 7. [x-l]-[2x-l] = 9-x »x-l-2x + l = 9- xx-2x + x = 90x = 9,vôlí => Phương trình vô nghiệm. Bài 18. Giải: a] ặ - = - - X 3 2 6 2x-3[2.x +1] = X-6x 2x-6x-3 = X-6x 2x -6x - X + 6x =3 X = 3. , , 2 + X „ „ l — 2x b]——0.5x= —-— + 0,25 5 4 4[2 + x]-20.0.5x = 5[1 -2x] + 20.0.25 8 + 4.X - lOx = 5-10x + 5 4x -10x + 10x = 5 + 5-8 4x = 2 X = —. Bài 19. Đớp sô': 9[2x + 2] = 144 X = 7 [m]. [2x+5]6 = 75^>x = 10[m]. 2 24 +12x = 168 X = 12 [m]. Bài 20. Hướng dần : Sô' đã nghĩ bằng kết quá cuối cùng trừ di 11. Gọi số đã nghĩ là X và lập luận đế tìm ra biêu thức giữa X và kết quả cuối cùng. D. Bài tạp luyện thêm Mỗi phương trình sau đây có là phương trình bậc nhất không? a] x-3 = -ỳx-6 + x-5; ^2xọ - 3xj + 2--^-x2 = 1 ■ x2+l=3x. Giái các phương trình sau : 2[x-3] + |[4-3x] = -4^x-^- , x x-6 , 2x-3 5x-3 , 4 b] —:— = ■■■ + - 12 4 8 3 x[x-2]-3=[x-3]2-[1-2x]. Giái các phương trình sau : • — —- + 3; 30 2 X - 2 X + 2 X - 3 X Chơ phương trình ựn - j X + 2 = X - 5 ; m là tham số. Giải phương trình với m = 1; Với giá trị nào cứa m phương trình có nghiệm X = 6? Hướng dấn - Đáp sô a] Có; b] Có; c] Không. a] 2[x-3]4[4-3x] = -4[x-C]-2 2x-6 + -7~x = -4x + 2-2 14 14 5x = -— X = T~. 3 15 Tập nghiệm: s = b]x[x-2]-3 = [x-3]2-[l-2x] X2 -2x -3 = X2 - 6x + 9-1 + 2x 2x = 11 X =---. Tập nghiệm: s = X - 2 X + 2 X - 3 ♦ X _ 11] —- ——- H = — + 3 3 5 30 2 10[x-2]-6[x + 2] + x-3 = 15x + 90 10x =-125 X =-12.5. Tập nghiệm: s = {—12,5}. x-6 , 2x-3 5x-3 4 12 4 8 3 o2[x-6] + [2x-3] = 3[5x-3] + 32 2x-12 + 12x-18 = 15x-9 + 32 X = -53. Tập nghiệm: s ={—53}. Với Ill = -1 ta có phương trình — x + 2 = x- 5« —x = 7ci>x = 14. 2 2 Tập nghiệm: S = {14}. Phương trình có nghiệm X = 6 khi m - — ,6 + 2 = 6- 5 6m - 2 m = -7 2 ] 3
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 3: Phương trình đưa về dạng ax + b = 0 giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
a. 1,2 – [x – 0,8] = -2[0,9 + x]
b. 2,3x – 2[0,7 + 2x] = 3,6 – 1,7x
c. 3[2,2 – 0,3x] = 2,6 + [0,1x – 4]
d. 3,6 – 0,5[2x + 1] = x – 0,25[2 – 4x]
Lời giải:
a. 1,2 – [x – 0,8] = -2[0,9 + x] ⇔ 1,2 – x + 0,8 = -1,8 – 2x
⇔ -x + 2x = -1,8 – 2 ⇔ x = -3,8
Phương trình có nghiệm x = -3,8
b. 2,3x – 2[0,7 + 2x] = 3,6 – 1,7x
⇔ 2,3x – 1,4 – 4x = 3,6 – 1,7x ⇔ 2,3x – 4x + 1,7x = 3,6 + 1,4
⇔ 0x = 5
Phương trình vô nghiệm
c. 3[2,2 – 0,3x] = 2,6 + [0,1x – 4]
⇔ 6,6 – 0,9x = 2,6 + 0,1x – 4 ⇔ 6,6 – 2,6 + 4 = 0,1x + 0,9x
⇔ x = 8
Phương trình có nghiệm x = 8
d. 3,6 – 0,5[2x + 1] = x – 0,25[2 – 4x]
⇔ 3,6 – x – 0,5 = x – 0,5 + x ⇔ 3,6 – 0,5 + 0,5 = x + x + x
⇔ 3,6 = 3x ⇔ 1,2
Phương trình có nghiệm x = 1,2
Lời giải:
⇔ 3[x – 3] = 6.15 – 5[1 – 2x]
⇔ 3x – 9 = 90 – 5 + 10x
⇔ 3x – 10x = 90 – 5 + 9
⇔ -7x = 94 ⇔ x = – 94/7
Phương trình có nghiệm x = – 94/7
⇔ 2[3x – 2] – 5.12 = 3[3 – 2[x + 7]]
⇔ 6x – 4 – 60 = 9 – 6[x + 7]
⇔ 6x – 64 = 9 – 6x – 42
⇔ 6x + 6x = 9 – 42 + 64
⇔ 12x = 31 ⇔ x = 31/12
Phương trình có nghiệm x = 31/12
⇔ 3.7x – 24.5[x – 9] = 4[20x + 1,5]
⇔ 21x – 120[x – 9] = 80x + 6
⇔ 21x – 120x + 1080 = 80x + 6
⇔ 21x – 120x – 80x = 6 – 1080
⇔ -179x = -1074 ⇔ x = 6
Phương trình có nghiệm x = 6.
Lời giải:
a. Phân thức
2[x – 1] – 3[2x + 1] ≠ 0
Ta giải phương trình: 2[x – 1] – 3[2x + 1] = 0
Ta có: 2[x – 1] – 3[2x + 1] = 0 ⇔ 2x – 2 – 6x – 3 = 0
⇔ -4x – 5 = 0 ⇔ 4x = -5 ⇔ x = -54
Vậy khi x ≠ -54 thì phân thức A xác định.
b. Phân thức
1,2[x + 0,7] – 4[0,6x + 0,9] ≠ 0
Ta giải phương trình: 1,2[x + 0,7] – 4[0,6x + 0,9] = 0
Ta có: 1,2[x + 0,7] – 4[0,6x + 0,9] = 0
⇔ 1,2x + 0,84 – 2,4 – 3,6 = 0
⇔ -1,2x – 2,76 = 0 ⇔ x = -2,3
Vậy khi x ≠ -2,3 thì phân thức B xác định.
Lời giải:
⇔ 14[5x – 3] – 21[7x – 1] = 12[4x + 2] – 5.84
⇔ 70x – 42 – 147x + 21 = 48x + 24 – 420
⇔ 70x – 147x – 48x = 24 – 420 + 42 – 21
⇔ -125x = -375 ⇔ x = 3
Phương trình có nghiệm x = 3
⇔ 5[3x – 9] + 2[4x – 10,5] = 4[3x + 3] + 6.20
⇔ 15x – 45 + 8x – 21 = 12x + 12 + 120
⇔ 15x + 8x – 12x = 12 + 120 + 45 + 21 ⇔ 11x = 198 ⇔ x = 18
Phương trình có nghiệm x = 18
⇔ 5[6x + 3] – 5.20 = 4[6x – 2] – 2[3x + 2]
⇔ 30x + 15 – 100 = 24x – 8 – 6x – 4
⇔ 30x – 24x + 6x = -8 -4 – 15 + 100
⇔ 12x = 73 ⇔ x = 73/12
Phương trình có nghiệm x = 73/12
⇔ 4[x + 1] + 3[6x + 3] = 2[5x + 3] + 7 + 12x
⇔ 4x + 4 + 18x + 9 = 10x + 6 + 7 + 12x
⇔ 4x + 18x – 10x – 12x = 6 + 7 – 4 – 9 ⇔ 0x = 0
Phương trình có vô số nghiệm.
a. Phương trình [2x + 1][9x + 2k] – 5[x + 2] = 40 có nghiệm x = 2.
b. Phương trình 2[2x + 1] + 18 = 3[x + 2][2x + k] có nghiệm x = 1.
Lời giải:
a. Thay x = 2 vào phương trình [2x + 1][9x + 2k] – 5[x + 2] = 40, ta có:
[2.2 + 1][9.2 + 2k] – 5[2 + 2] = 40
⇔ [4 + 1][18 + 2k] – 5.4 = 40 ⇔ 5[18 + 2k] – 20 = 40
⇔ 90 + 10k – 20 = 40 ⇔ 10k = 40 – 90 + 20 ⇔ 10k = -30
⇔ k = -3
Vậy khi k = -3 thì phương trình [2x + 1][9x + 2k] – 5[x + 2] = 40 có nghiệm x = 2.
b. Thay x = 1 vào phương trình 2[2x + 1] + 18 = 3[x + 2][2x + k], ta có:
2[2.1 + 1] + 18 = 3[1 + 2][2.1 + k]
⇔ 2[2 + 1] + 18 = 3.3[2 + k] ⇔ 2.3 + 18 = 9[2 + k]
⇔ 6 + 18 = 18 + 9k ⇔ 24 – 18 = 9k ⇔ 6 = 9k ⇔ k = 69 = 23
Vậy khi k = 23 thì phương trình 2[2x + 1] + 18 = 3[x + 2][2x + k] có nghiệm x = 1.
a. A = [x – 3][x + 4] – 2[3x – 2]; B = [x – 4]2
b. A = [x + 2][x – 2] + 3x2; B = [2x + 1]2 + 2x
c. A = [x – 1][x2 + x + 1] – 2x; B = x[x – 1][x + 1]
d. A = [x + 1]3 – [x – 2]3; B = [3x – 1][3x + 1]
Lời giải:
a. Ta có: A = B ⇔ [x – 3][x + 4] – 2[3x – 2] = [x – 4]2
⇔ x2 + 4x – 3x – 12 – 6x + 4 = x2 – 8x + 16
⇔ x2 – x2 + 4x – 3x – 6x + 8x = 16 + 12 – 4
⇔ 3x = 24 ⇔ x = 8
Vậy với x = 8 thì A = B
b. Ta có: A = B ⇔ [x + 2][x – 2] + 3x2 = [2x + 1]2 + 2x
⇔ x2 – 4 + 3x2 = 4x2 + 4x + 1 + 2x
⇔ x2 + 3x2 – 4x2 – 4x – 2x = 1 + 4 ⇔ -6x = 5 ⇔ x = – 5/6
Vậy với x = – 5/6 thì A = B.
c. Ta có: A = B ⇔ [x – 1][x2 + x + 1] – 2x = x[x – 1][x + 1]
⇔ x3 – 1 – 2x = x[x2 – 1] ⇔ x3 – 1 – 2x = x3 – x
⇔ x3 – x3 – 2x + x = 1 ⇔ -x = 1 ⇔ x = -1
Vậy với x = -1 thì A = B
d. Ta có: A = B ⇔ [x + 1]3 – [x – 2]3 = [3x – 1][3x + 1]
⇔ x3 + 3x2 + 3x + 1 – x3 + 6x2 – 12x + 8 = 9x2 – 1
⇔ x3 – x3 + 3x2 + 6x2 – 9x2 + 3x – 12x = -1 – 1 – 8
⇔ -9x = -10 ⇔ x = 10/9
Vậy với x = 10/9 thì A = B.
Lời giải:
⇔ 2.2x + 2x – 1 = 4.6 – 2x
⇔ 4x + 2x – 1 = 24 – 2x
⇔ 6x + 2x = 24 + 1
⇔ 8x = 25 ⇔ x = 25/8
Phương trình có nghiệm x = 25/8
⇔ 6[x – 1] + 3[x – 1] = 12 – 4[2x – 2]
⇔ 6x – 6 + 3x – 3 = 12 – 8x + 8 ⇔ 6x + 3x + 8x = 12 + 8 + 6 + 3
⇔ 17x = 29 ⇔ x = 29/17
Phương trình có nghiệm x = 29/17
⇔ 2003 – x = 0 ⇔ x = 2003
Phương trình có nghiệm x = 2003
7x/8 – 5[x – 9] = 1/6[20x + 1,5] [1]
2[a – 1]x – a[x – 1] = 2a + 3 [2]
a. Chứng tỏ rằng phương trình [1] có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó
b. Giải phương trình [2] khi a = 2
c. Tìm giá trị của a để phương trình [2] có một nghiệm bằng một phần ba nghiệm của phương trình [1].
Lời giải:
a. Nhân hai vế của phương trình [1] với 24, ta được:
7x/8 – 5[x – 9] = 1/6[20x + 1,5]
⇔21x − 120[x − 9] = 4[20x + 1,5]
⇔21x − 120x − 80x = 6 − 1080
⇔−179x = −1074 ⇔ x = 6
Vậy phương trình [1] có một nghiệm duy nhất x = 6.
b. Ta có:
2[a − 1] − a[x − 1] = 2a + 3
⇔[a − 2]x = a + 3 [3]
Do đó, khi a = 2, phương trình [2] tương đương với phương trình 0x = 5.
Phương trình này vô nghiệm nên phương trình [2] vô nghiệm.
c. Theo điều kiện của bài toán, nghiệm của phương trình [2] bằng một phần ba nghiệm của phương trình [1] nên nghiệm đó bằng 2.
Do [3] nên phương trình [2] có nghiệm x = 2 cũng có nghĩa là phương trình [a −2 ]2 = a + 3 có nghiệm x = 2.
Thay giá trị x = 2 vào phương trình này, ta được [a − 2]2 = a + 3.
Ta coi đây là phương trình mới đối với ẩn a. Giải phương trình mới này: [a − 2]2 = a + 3 ⇔ a = 7
Khi a = 7, dễ thử thấy rằng phương trình [a − 2]x = a + 3 có nghiệm x = 2, nên phương trình [2] cũng có nghiệm x = 2.
Lời giải:
a. Đặt
Giải phương trình này:
6u – 8 = 3u + 7
⇔ 6u – 3u = 7 + 8
⇔ 3u = 15 ⇔ u = 5
⇔16x = 32 ⇔ x = 2
b. Nếu đặt u =x√2 − 1 thì x√2 = u + 1 nên phương trình có dạng
[√2 + 2]u = 2[u + 1]−√2 [1]
Ta giải phương trình [1]:
[1] ⇔√2u + 2u = 2u + 2 − √2
⇔√2u = 2−√2
⇔√2u=√2[√2 − 1]⇔u = √2 − 1
⇔[√2 + 2][x√2 – 1] = 2x√2 – √2
⇔x√2 − 1 = √2 − 1
⇔x√2 = √2
⇔x = 1
c. Nếu đặt
0,05.2u = 3,3 − u, hay 0,1u = 3,3 − u
Dễ thấy phương trình này có một nghiệm duy nhất u = 3. Do đó