Giải bài tập toán 12 nâng cao hình học

Các bạn nhấp chuột vào tên phần, chương, bài để đến với bài học tương ứng. Sau khi học xong mỗi bài, để theo dõi bài tiếp theo, mời các em xem các bài liên quan cùng phần mình đang đọc ở cuối bài và ở thanh bên trái

Giải bài tập toán 12 gồm 2 phần:

***********

Phần 1: Giải bài tập Giải tích 12 nâng cao.

\>>>>>>>>>>>>>

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương III. Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng

Chương IV. SỐ PHỨC

ÔN TẬP CUỐI NĂM

**************

**************

Phần 2: Giải bài tập Hình học 12 nâng cao.

\>>>>>>>>

Chương I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

Chương II. MẶT CẦU , MẶT NÓN , MẶT TRỤ

Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

ÔN TẬP CUỐI NĂM

——————— chọn phần cần đọc ——

Reader Interactions

VnDoc hướng dẫn bạn Giải bài tập Toán 12 nâng cao nhằm giúp các bạn học tốt môn Toán lớp 12 hơn. Ngoài ra, chúng tôi mời bạn tham khảo hướng dẫn giải bài tập Toán 12 cơ bản và Soạn văn 12 đầy đủ, chi tiết.

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao: Phương trình mặt phẳng.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 15. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

1. Đi qua ba điểm $M[2;0; – 1]$, $N[1; – 2;3]$, $P[0;1;2].$
2. Đi qua hai điểm $A[1;1; – 1]$, $B[5;2;1]$ và song song với trục $Oz.$
3. Đi qua điểm $[3;2; – 1]$ và song song với mặt phẳng có phương trình: $x – 5y + z = 0.$
4. Đi qua hai điểm $A[0;1;1]$, $B[ – 1;0;2]$ và vuông góc với mặt phẳng: $x – y + z + 1 = 0.$
5. Đi qua điểm $M[a;b;c]$ $[abc \ne 0]$ và song song với một mặt phẳng tọa độ.
6. Đi qua điểm $G[1;2;3]$ và cắt các trục tọa độ tại các điểm $A$, $B$, $C$ sao cho $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
7. Đi qua điểm $H[2;1;1]$ và cắt các trục tọa độ tại các điểm $A$, $B$, $C$ sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC.$

Lời giải:

1. Mặt phẳng $[MNP]$ nhận vectơ $[\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ]$ làm vectơ pháp tuyến. Ta có $\overrightarrow {MN} = [ – 1; – 2;4]$, $\overrightarrow {MP} = [ – 2;1;3]$ nên $[\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ] = [ – 10; – 5; – 5].$ Vậy $mp[MNP]$ đi qua $M[2;0; – 1]$ và có vectơ pháp tuyến là $[ – 10; – 5; – 5]$ nên nó có phương trình: $ – 10[x – 2] – 5y – 5[z + 1] = 0$ $ \Leftrightarrow 2x + y + z – 3 = 0.$
2. Vì mặt phẳng đi qua $AB$ và song song với $Oz$ nên nó có vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\vec k]$, với $\overrightarrow {AB} = [4;1;2]$, $\vec k = [0;0;1]$ nên $\vec n = [1; – 4;0].$ Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua $A[1;1; – 1]$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec n = [1; – 4;0]$ nên có phương trình là: $1[x – 1] – 4[y – 1] + 0[z + 1] = 0.$ Cách khác: Vì mặt phẳng cần tìm song song với $Oz$ nên có phương trình dạng $Ax + By + D = 0$ với ${A^2} + {B^2} \ne 0.$ Vì mặt phẳng này đi qua $A[1;1; – 1]$ và $B[5;2;1]$ nên ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A + B + D = 0}\\ {5A + 2B + D = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow 4A + B = 0$, nếu $A = 0$ thì $B = 0$ [loại]. Vậy $A \ne 0$, ta chọn $A = 1$ $ \Rightarrow B = – 4$ và $D = 3.$ Vậy phương trình mặt phẳng là: $x – 4y + 3 = 0.$
3. Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng: $x – 5y + z = 0$ nên nó có phương trình dạng: $x – 5y + z + D = 0$, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm $[3;2; – 1]$ nên ta có: $3 – 5.2 + [ – 1] + D = 0$ $ \Leftrightarrow D = 8.$ Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: $x – 5y + z + 8 = 0.$ Cách khác: Vì hai mặt phẳng song song với nhau thì có cùng véctơ pháp tuyến, nên mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = [1; – 5;1]$ nên nó có phương trình là: $1[x – 3] – 5[y – 2] + 1[z + 1] = 0$ $ \Leftrightarrow x – 5y + z + 8 = 0.$
4. Vì mặt phẳng cần tìm đi qua $AB$ và vuông góc với mặt phẳng: $x – y + z + 1 = 0$ nên nó có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_1}} ]$, với $\overrightarrow {AB} = [ – 1; – 1;1]$ và $\overrightarrow {{n_1}} = [1; – 1;1]$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: $x – y + z + 1 = 0.$ Suy ra $\vec n = [0;2;2].$ Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: $y + z – 2 = 0.$
5. Nếu mặt phẳng cần tìm song song với $mp[Oxy]$ thì nó có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = [0;0;1]$, mặt khác mặt phẳng này đi qua điểm $M[a; b; c]$ nên nó có phương trình là: $z – c = 0.$ Tương tự, nếu mặt phẳng cần tìm đi qua $M[a; b; c]$ và song song với $mp[Oxz]$ thì có phương trình: $y – b = 0.$ Nếu mặt phẳng cần tìm đi qua $M[a; b; c]$ và song song với $mp[Oyz]$ thì có phương trình: $x – a = 0.$
6. Giả sử ba giao điểm $A$, $B$, $C$ của mặt phẳng với ba trục tọa độ là $A[a; 0; 0]$, $B[0; b; 0]$, $C[0; 0; c].$ Vì $G[1; 2; 3]$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên ta có: $\frac{a}{3} = 1$, $\frac{b}{3} = 2$, $\frac{c}{3} = 3$ suy ra $a = 3$, $b = 6$, $c = 9$ nên ta có phương trình $mp[ABC]$ theo đoạn chắn là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1.$
7. Giả sử ba giao điểm $A$, $B$, $C$ của mặt phẳng với ba trục tọa độ là: $A[a; 0; 0]$, $B[0; b; 0]$, $C[0;0;c].$ Vì $H[2;1;1]$ là trực tâm $\Delta ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CH} = 0}\\ {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 2a + b = 0}\\ {b – c = 0} \end{array}} \right..$ $ \Rightarrow b = c = 2a \ne 0.$ Khi đó, phương trình mặt phẳng $[ABC]$ viết theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{2a}} = 1$ $ \Leftrightarrow 2x + y + z = 2a.$ Mặt khác, mặt phẳng này đi qua $H[2;1;1]$ nên ta có: $2.2 + 1 + 1 = 2a$ $ \Leftrightarrow a = 3.$ Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: $2x + y + z – 6 = 0.$

Bài 16. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:

1. $x + 2y – z + 5 = 0$ và $2x + 3y – 7z – 4 = 0.$
2. $x – 2y + z – 3 = 0$ và $2x – y + 4x – 2 = 0.$
3. $x + y + z – 1 = 0$ và $2x + 2y + 2z + 3 = 0.$
4. $3x – 2y + 3z + 5 = 0$ và $9x – 6y – 9z – 5 = 0.$
5. $x – y + 2z – 4 = 0$ và $10x – 10x + 20z – 40 = 0.$

Lời giải:

1. Hai mặt phẳng cắt nhau, vì: $1:2:[ – 1] \ne 2:3:[ – 7].$
2. Hai mặt phẳng cắt nhau, vì: $1:[ – 2]:1 \ne 2:[ – 1]:4.$
3. Hai mặt phẳng song song, vì: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne \frac{{ – 1}}{3}.$
4. Hai mặt phẳng cắt nhau, vì: $3:[ – 2]:3 \ne 9:[ – 6]:[ – 9].$
5. Hai mặt phẳng trùng nhau, vì: $\frac{1}{{10}} = \frac{{ – 1}}{{ – 10}} = \frac{2}{{20}} = \frac{{ – 4}}{{ – 40}}.$

Bài 17. Xác định giá trị của $m$ và $n$ để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:

1. $2x + ny + 2z + 3 = 0$ và $mx + 2y – 4z + 7 = 0.$
2. $2x + y + mz – 2 = 0$ và $x + ny + 2z + 8 = 0.$

Lời giải:

1. Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là: $\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{m} = \frac{n}{2} = \frac{2}{{ – 4}} \ne \frac{3}{7}$ $ \Leftrightarrow m = – 4$ và $n = – 1.$
2. Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là: $ \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{1}{n} = \frac{m}{2} \ne \frac{{ – 2}}{8}$ $ \Leftrightarrow n = \frac{1}{2}$ và $m = 4.$

Bài 18. Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là: $2x – my + 3z – 6 + m = 0$ và $[m + 3]x – 2y + [5m + 1]z – 10 = 0.$ Với giá trị nào của $m$ thì:

1. Hai mặt phẳng đó song song?
2. Hai mặt phẳng đó trùng nhau?
3. Hai mặt phẳng đó cắt nhau?
4. Hai mặt phẳng đó vuông góc?

Lời giải: Các hệ số của phương trình mặt phẳng: $2x – my + 3z – 6 + m = 0$ là: $A = 2$; $B = -m$; $C = 3$; $D = m – 6.$ Các hệ số của phương trình mặt phẳng: $[m + 3]x – 2y + [5m + 1]z – 10 = 0$ là: $A’ = m + 3$, $B’ = – 2$, $C’ = 5m + 1$, $D’ = – 10.$

1. Để hai mặt phẳng song song thì: $\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}.$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ – m}}{{ – 2}}$ $ = \frac{3}{{5m + 1}} \ne \frac{{m – 6}}{{ – 10}}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{2}{{m + 3}} = \frac{m}{2}}\\ {\frac{m}{2} = \frac{3}{{5m + 1}}}\\ {\frac{3}{{5m + 1}} \ne \frac{{m – 6}}{{ – 10}}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{m^2} + 3m – 4 = 0}\\ {5{m^2} + m – 6 = 0}\\ {5{m^2} – 29m + 24 \ne 0} \end{array}} \right..$ Hệ này vô nghiệm, nên không có $m$ để hai mặt phẳng đã cho song song.
2. Hai mặt phẳng trùng nhau $ \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} = \frac{D}{{D’}}.$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ – m}}{{ – 2}}$ $ = \frac{3}{{5m + 1}} = \frac{{m – 6}}{{ – 10}}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{m^2} + 3m – 4 = 0}\\ {5{m^2} + m – 6 = 0}\\ {5{m^2} – 29m + 24 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 1.$ Vậy $m = 1$ thì hai mặt phẳng đã cho trùng nhau.
3. Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng không trùng nhau [vì theo câu a, hai mặt phẳng này không thể song song với nhau]. Theo câu b, ta suy ra giá trị $m$ để hai mặt phẳng cắt nhau là: $m \ne 1.$ Cách khác: Để hai mặt phẳng cắt nhau thì: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{A}{{A’}} \ne \frac{B}{{B’}}}\\ {\frac{B}{{B’}} \ne \frac{C}{{C’}}}\\ {\frac{C}{{C’}} \ne \frac{A}{{A’}}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{2}{{m + 3}} \ne \frac{{ – m}}{{ – 2}}}\\ {\frac{{ – m}}{{ – 2}} \ne \frac{3}{{5m + 1}}}\\ {\frac{3}{{5m + 1}} \ne \frac{2}{{m + 3}}} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow m \ne 1.$ Vậy điều kiện là $m \ne 1.$
4. Hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là: $\overrightarrow {{n_1}} [2; – m;3]$ và $\overrightarrow {{n_2}} [m + 3; – 2;5m + 1].$ Để hai mặt phẳng vuông góc thì $\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} $ hay $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0.$ $ \Leftrightarrow 2[m + 3] + 2m + 3[5m + 1] = 0$ $ \Leftrightarrow m = \frac{{ – 9}}{{19}}.$ Vậy $m = – \frac{9}{{19}}$ là giá trị cần tìm.

Bài 19. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng $[\alpha ]$ và $\left[ {\alpha ‘} \right]$ trong mỗi trường hợp sau:

1. $[\alpha ]:2x – y + 4z + 5 = 0$, $\left[ {\alpha ‘} \right]:3x + 5y – z – 1 = 0.$
2. $[\alpha ]:2x + y – 2z – 1 = 0$, $\left[ {\alpha ‘} \right]:6x – 3y + 2z – 2 = 0.$
3. $[\alpha ]:x + 2y + z – 1 = 0$, $\left[ {\alpha ‘} \right]:x + 2y + z + 5 = 0.$

Lời giải:

1. Gọi điểm $M[x;y;z]$ là điểm cách đều $[\alpha ]$ và $\left[ {\alpha ‘} \right]$, khi đó: $d[M,\alpha ] = d\left[ {M,\alpha ‘} \right]$ $ \Leftrightarrow \frac{{|2x – y + 4z + 5|}}{{\sqrt {4 + 1 + 16} }} = \frac{{|3x + 5y – z – 1|}}{{\sqrt {9 + 25 + 1} }}.$ $ \Leftrightarrow \sqrt 5 [2x – y + 4z + 5]$ $ = \pm \sqrt 3 [3x + 5y – z – 1].$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {[2\sqrt 5 – 3\sqrt 3 ]x – [\sqrt 5 + 5\sqrt 3 ]y + [4\sqrt 5 + \sqrt 3 ]z + 5\sqrt 5 + \sqrt 3 = 0\,\,\,[1]}\\ {[2\sqrt 5 + 3\sqrt 3 ]x – [\sqrt 5 – 5\sqrt 3 ]y + [4\sqrt 5 – \sqrt 3 ]z + 5\sqrt 5 – \sqrt 3 = 0\,\,\,[2]} \end{array}} \right..$ Vậy quỹ tích các điểm $M$ cách đều hai mặt phẳng đã cho là hai mặt phẳng có phương trình $[1]$ và $[2].$
2. Cách giải tương tự câu a, ta có tập hợp các điểm $M$ cách đều hai mặt phẳng đã cho là hai mặt phẳng có phương trình sau: $ – 4x + 16y – 20z – 1 = 0$ và $32x – 2y – 8z – 13 = 0.$
3. Gọi $M[x;y;z]$ là điểm cách đều $[\alpha ]$ và $\left[ {\alpha ‘} \right]$, ta có: $d[M,\alpha ] = d\left[ {M,\alpha ‘} \right]$ $ \Leftrightarrow \frac{{|x + 2y + z – 1|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }}$ $ = \frac{{|x + 2y + z + 5|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }}.$ $ \Leftrightarrow [x + 2y + z – 1]$ $ = \pm [x + 2y + z + 5].$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + 2y + z – 1 = x + 2y + z + 5}\\ {x + 2y + z – 1 = – x – 2y – z – 5} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 1 = 5\,\,\,{\rm{[vô\:lý]}}}\\ {x + 2y + z + 2 = 0} \end{array}} \right..$ Vậy quỹ tích điểm $M$ cần tìm là mặt phẳng có phương trình $x + 2y + z + 2 = 0.$

Bài 20. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng: $Ax + By + Cz + D = 0$ và $Ax + By + Cz + D’ = 0$ với $D \ne D’.$

Lời giải: Ta nhận thấy hai mặt phẳng đã cho song song với nhau, nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Giả sử điểm $M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]$ thuộc mặt phẳng: $Ax + By + Cz + D = 0$, ta có khoảng cách cần tìm là: $h = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D’} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$ $ = \frac{{| – D + D’|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$ [vì $A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} = – D$].

Bài 21. Tìm điểm $M$ trên trục $Oz$ trong mỗi trường hợp sau:

1. $M$ cách đều điểm $A[2;3;4]$ và mặt phẳng $2x + 3y + z – 17 = 0.$
2. $M$ cách đều hai mặt phẳng $x + y – z + 1 = 0$ và $x – y + z + 5 = 0.$

Lời giải: Vì $M$ nằm trên trục $Oz$ nên có tọa độ dạng: $M = [0;0;c].$

1. Ta có $MA = \sqrt {4 + 9 + {{[4 – c]}^2}} $ $ = \sqrt {13 + {{[4 – c]}^2}} .$ Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng: $2x + 3y + z – 17 = 0$ là: $h = \frac{{|c – 17|}}{{\sqrt {4 + 9 + 1} }} = \frac{{|c – 17|}}{{\sqrt {14} }}.$ Theo bài ra, ta có: $MA = h$ $ \Leftrightarrow M{A^2} = {h^2}$ $ \Leftrightarrow 13 + {[4 – c]^2} = \frac{{{{[c – 17]}^2}}}{{14}}.$ $ \Leftrightarrow c = 3.$ Vậy $M = [0;0;3]$ là điểm cần tìm.
2. Vì $M[0;0;c]$ cách đều hai mặt phẳng: $x + y – z + 1 = 0$ và $x – y + z + 5 = 0$ nên ta có: $\frac{{| – c + 1|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{|c + 5|}}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow [ – c + 1] = \pm [c + 5]$ $ \Leftrightarrow c = – 2.$ Vậy $M = [0;0; – 2]$ là điểm cần tìm.

Bài 22. Cho tứ diện $OABC$ có các tam giác $OAB$, $OBC$, $OCA$ là các tam giác vuông đỉnh $O.$ Gọi $\alpha $, $\beta $, $\gamma $ lần lượt là góc giữa mặt phẳng $[ABC]$ và các mặt phẳng $[OBC]$, $[OCA]$, $[OAB].$ Bằng phương pháp tọa độ hãy chứng minh:

1. Tam giác $ABC$ có ba góc nhọn.
2. ${\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.$

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho: $O = [0;0;0]$; $A = [a;0;0]$; $B = [0;b;0]$; $C = [0;0;c].$

1. Ta có $\overrightarrow {AB} = [ – a;b;0]$, $\overrightarrow {AC} = [ – a;0;c]$ nên $\cos \widehat {CAB} = \cos [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]$ $ = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{|\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |}}$ $ = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{a^2} + {c^2}} }} > 0.$ Suy ra góc $\widehat {CAB}$ nhọn. Tương tự, ta có góc $\widehat {ACB}$ và $\overrightarrow {ABC} $ góc nhọn. Vậy $\Delta ABC$ có ba góc nhọn [điều phải chứng minh].
2. Mặt phẳng $[ABC]$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = [bc;ac;ab].$ Các mặt phẳng $[OBC]$, $[OAC]$, $[OAB]$ lần lượt có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = [1;0;0]$, $\overrightarrow {{n_2}} = [0;1;0]$, $\overrightarrow {{n_3}} = [0;0;1]$ nên ta có: ${\cos ^2}\alpha = {\cos ^2}\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\vec n} \right]$ $ = \frac{{{{[bc]}^2}}}{{{{[bc]}^2} + {{[ac]}^2} + {{[ab]}^2}}}.$ ${\cos ^2}\beta = {\cos ^2}\left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow n } \right]$ $ = \frac{{{{[ac]}^2}}}{{{{[bc]}^2} + {{[ac]}^2} + {{[ab]}^2}}}.$ ${\cos ^2}\gamma = {\cos ^2}\left[ {\overrightarrow {{n_3}} ,\overrightarrow n } \right]$ $ = \frac{{{{[ab]}^2}}}{{{{[bc]}^2} + {{[ac]}^2} + {{[ab]}^2}}}.$ Suy ra: ${\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma $ $ = \frac{{{{[ab]}^2} + {{[ac]}^2} + {{[bc]}^2}}}{{{{[bc]}^2} + {{[ac]}^2} + {{[ab]}^2}}} = 1.$

Bài 23. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng $4x + 3y – 12z + 1 = 0$ và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0.$

Lời giải: Mặt cầu: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0$ có tâm $I[1;2;3]$; bán kính $R = 4.$ Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng $4x + 3y – 12z + 1 = 0$ nên có phương trình dạng: $4x + 3y – 12z + D = 0$ $[\alpha ].$ Vì mặt phẳng $[\alpha ]$ tiếp xúc với mặt cầu tâm $I[1;2;3]$, bán kính $R = 4$ nên ta có: $d[I,\alpha ] = R.$ $ \Leftrightarrow \frac{{|4 + 6 – 36 + D|}}{{\sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4$ $ \Leftrightarrow | – 26 + D| = 52$ $ \Rightarrow D = 78$ hoặc $D = – 26.$ Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình là: $4x + 3y – 12z + 78 = 0$ hoặc: $4x + 3y – 12z – 26 = 0.$