§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CĂN BẢN ĐỊNH NGHĨA Hàm số sin và hàm số côsin aj Hàm sô' sin: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực X với số thực sinx sin : R -> R X i-> y = sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx. Tập xác định của hàm sô' sin là R. Hàm số côsin: Quy tắc đặt tương ứng mỗi sô' thực X với sô' thực cosx cos : R -> R X H y = cosx. được gọi là hàm sô' cosin, kí hiệu là y = cosx. Tập xác định của hàm sô' côsin là R. Hàm sô' tang và hàm sô' côtang Hàm số tang: Hàm sô' tang là hàm sô' được xác định bởi công thức sinx . y = - - [cosx * 0] cosx Kí hiệu là y - tanx. Tập xác định của hàm sô' y = tanx là D = R \ + kn, k 6 zI. Hàm số côtang: Hàm sô' côtang là hàm sô' được xác định bởi công thức cosx , . y = [sinx * 0] sinx Kí hiệu là y - cotx. Tập xác định của hàm sô' y = cotx là D = R \ {kĩi, k e Z}. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM số LƯỢNG GIÁC Hàm sô' y = sinx và y = cosx là hàm sô' tuần hoàn với chu kì 2n. Hàm sô' y = tanx và y = cotx là hàm sô' tuần hoàn với chu kì 7t. sự BIẾN THIÊN VÀ Đổ THỊ CỦA HÀM số LƯỢNG GIÁC Hàm số y = sinx Xác định với mọi X e K và -1 < sinx < 1 Là hàm sô' lẻ. Là hàm số tuần hoàn với chu kì 271. Bảng biến thiên của hàm số y = sìnx trên đoạn [-7t; 7ĩ] như sau: X -71 71 2 0 71 2 71 y = sinx 0 , 1 — —"* 0 -1 — —* 0 Xác định với mọi X e ỉ và -1 < cosx < 1. Là hàm số chẵn. Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2tt. Bảng biến thiên của hàm số y = cosx trên đoạn [-7i; 71] X -71 0 71 y = cosx -1 — Đồ thị hàm số y = cosx Ta có: cosx = sin[x + với mọi X, nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx sang trái một đoạn có độ dài ta được đồ thị hàm sô' Hàm số y = tanx * Có tập xác định là D = R\ j I + kĩt, ke z Là hàm số lẻ. Là hàm số tuần hoàn với chu kì 71. 4. Đổ thị của hàm số y = tanx Hàm số y = cotx Có tập xác định là D = R\ {krc, ke z} Là hàm số lẻ. Là hàm số tuần hoàn với chu kì 71. Bảng biến thiên của hàm số y = cotx trên [0; 7i] Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cotx trên khoảng [0; 7t]. Đồ thị hàm số y = cotx Bảng biến thiên của hàm số y - tanx trên B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Hãy xác định những giá trị của X trên đoạn 3]1 đê’ hàm số y = tanx: Nhận giá trị bằng 0; c] Nhận giá trị dương; Nhận giá trị bằng 1; d] Nhận giá trị âm. tfiai 3ti Dựa vào đồ thị của hàm số y = tanx trên -7t;- tanx = 0 tại X e {-7t; 0; 7t} tanx = 1 tại xe Ị- y 4 4 4 ] tanx > 0 khi X e 7i; — j V [^’2] u [n’~2"] ta có: 2. Tìm tập xác định của các hàm số: 1 + cosx a] y = i»y. c] y = tan X V1-COSX d]y = cot x + ơ] I y xác định khi và chỉ khi sinx * 0 X * kĩt, k e z Vậy tập xác định D = R \ {kĩt, k e Z}. Vi 1 + cosx > 0 nên y xác định khi và chỉ khi: - cosx > 0 o cosx < 1 0 cosx # 1 o X í 2k7t, k 6 z Vậy tập xác định D = R \ {k2tt, k e Z}. y xác định khi và chỉ khi X - + b o X — + kít, k e 3 2 6 Vậy tập xác định D = R \ [+ kx, k e Z|. 6 71 - 7C rn y xác định khi và chỉ khi x + -7*k7Tx*--7 + kĩt, k e z 6 6 Vậy tập xác định D = R \ 1" + kx, k e Z|. 6 3. Dựa vào đồ thị của hàm sô' y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = I sinx I. ỐỊiải , .1 . I í sin X nếu sin X > 0 , I . I Ta co I sinxj = < . , do đó đõ thị của hàm sô y = I sinx I [-sinx nếu sinxcO có được từ đồ thị CO của hàm sô' y = sinx bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị của co nằm trong nửa mặt phẳng y > 0 [tức là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ Ox]. Lấy hình đôi xứng qua trục hoành của phần đồ thị co nằm trong nửa mặt phẳng y < 0 [tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ Ox]; Xóa phần đồ thị của co nằm trong nửa mặt phẳng y < 0 Đồ thị y = I sinx I là đường liền nét trong hình dưới đây: 4. Chứng minh rằng sin2[x + kn] = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x. Ốjiải Ta có sin2[x + kn] = sin[2x + 2k7t] = sin2x, k e z. Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn với chu kì 71 và y = sin2x là hàm sô' lẻ nên ta vẽ đồ thị của y = sin2x trên đoạn 0, được đồ thị trên đoạn ’2 rồi lấy đô'i xứng qua Cuối cùng tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn độ dài 7t ta được đồ thị hàm sô' y = sin2x trên K. 71 71 2’2 8. 5. Dựa vào đổ thị hàm số y = cosx, tim các giá trị của X để cosx = Ốịiải Đường thẳng y = — cắt đồ thị hàm số y = cosx tại các giao điểm có hoành 2 độ tương ứng là + k27T và + k27i, k e z. 3 3 6. Dựa vào đố thị cùa hàm số y = sinx, tim các khoảng giá trị của X đê’ hàm số đó nhận giá trị dương. ố^lảl Ta có sinx > 0 ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục Ox. Vậy đó là các khoảng [2k7i; 71 + 2kĩt], k Ẽ Zlà các khoảng giá trị của X để sinx > 0. 7. Dựa vào đổ thị của hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của X để hàm số đó nhận giá trị âm. ốỊiải Ta có cosx < 0 ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox. Đó là các khoảng Tim giá trị lớn nhất của các hàm số: y = 2 s/cosx + 1; y = 3 - 2sinx. Ốịiải Ta có cosx y X = k2n, k e X Vì sinx > -1 -sinx y < 5. Vậy maxy - 5 o sinx = -1x = -^ + k27i, k 6 z. 2 c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1-sinx cosx b] y = cotx X + — - 1; d] y I 3J a] X * — + kn; b] X 2 c] X * + krc; d] X 1 + sinx 1 -sinx 71 2 71 3 71 2 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số: a] y - sin42x; b] y = cosxsinx sinx -tanx c] y = — tanx + cotx d] y = sinx - cosx. sinx + cotx ĐS: a] Hàm số chẵn; c] Hàm số chẵn; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số a] y = -5sin í X -+ 1; b]y = 7l + 2cosx - 3 . ĐS: a] -4; 6; b] -3; 73-3. Chứng minh rằng cos2[x + kĩi] = cos2x, k e z. Từ đó vẽ đổ thị hàm số y - cos2x và y = |cos2x|. Vẽ đồ thị các hàm số sau: b] Hàm số chẵn; d] Hàm số không chẵn không lẻ. a] y = 1 - sinx; c]y = tanj^x + ^; b] y = COS ^x + d] y - cot X - a]y =
Trong chương trình Đại số lớp 10, các em đã được làm quen với các công thức lượng giác, mở đầu chương trình Đại số 11 các em sẽ tiếp tục được học các kiến thức và phương pháp giải về các bài tập hàm số và phương trình của lượng giác. Với tài liệu này chúng tôi trình bày lý thuyết và hướng dẫn chi tiết các em cách giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác bám sát chương trình sách giáo khoa. Tài liệu là một nguồn tham khảo bổ ích để các em ôn tập phần hàm số lượng giác tốt hơn.
I. Lý thuyết cần nắm để giải bài tập toán 11 phần lượng giác
Các lý thuyết phần cần nắm để giải được bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác bao gồm các hàm số cơ bản như: hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
1. Hàm số y = sin x và y = cos x
|
HÀM SỐ Y = SIN X |
HÀM SỐ Y = COS X |
|
+ TXĐ: D = R + Hàm số lẻ + Tuần hoàn với chu kỳ 2π, nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1] + Đồng biến trên mỗi khoảng [−π/2 + k2π;π/2 + k2π] và nghịch biến trên mỗi khoảng [π2 + k2π;3π/2 + k2π] + Có đồ thị hình sin qua điểm O [0,0] + Đồ thị hàm số |
+ TXĐ: D = R + Hàm số chẵn + Tuần hoàn với chu kỳ 2π, nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1] + Đồng biến trên mỗi khoảng [−π + k2π; k2π] và nghịch biến trên mỗi khoảng [k2π;π + k2π] + Có đồ thị hình sin đi qua điểm [0; 1] + Đồ thị hàm số |
2. Hàm số y = tan x và y = cot x
|
HÀM SỐ Y = TAN X |
HÀM SỐ Y = COT X |
|
+ TXĐ D = R ∖{π/2 + kπ, k∈Z} + Là hàm số lẻ + Tuần hoàn với chu kì π, nhận mọi giá trị thuộc R. + Đồng biến trên mỗi khoảng [−π/2 + kπ;π/2 + kπ] + Nhận mỗi đường thẳng x = π/2 + kπ làm đường tiệm cận + Đồ thị hàm số |
+ TXĐ D = R∖{kπ,k∈Z} + Là hàm số lẻ + Tuần hoàn với chu kì π, nhận mọi giá trị thuộc R. + Nghịch biến trên mỗi khoảng [kπ;π + kπ] + Nhận mỗi đường thẳng x = kπ làm đường tiệm cận + Đồ thị hàm số |
II. Phương pháp giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác
Để giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác, chúng tôi phân thành các dạng toán sau đây:
+ Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
– Phương pháp giải: Chú ý đến tập xác định của hàm số lượng giác và tìm điều kiện của x để hàm số xác định
– Ví dụ: Hãy xác định tập xác định của hàm số:
Hàm số xác định khi:
Kết luận TXĐ của hàm số D = R∖{π/2 + kπ, k∈Z}
+ Dạng 2: Xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ
– Phương pháp giải: Để xác định hàm số y = f[x] là hàm chẵn hay hàm lẻ, ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tập xác định D của f[x]
Bước 2: Với x bất kỳ
Bước 3: Tính f[-x]
– Nếu f[-x] = f[x],
– Nếu f[-x] = -f[x],
– Nếu
f[-x]
f[-x]
– Ví dụ: Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau: y = tanx + 2sinx
Tập xác định D = {x|x
Với x bất kỳ:
Ta có: f[-x] = tan[-x] + 2 sin[-x] = -tanx – 2sinx = -[tanx + 2sinx] = -f[x],
Vậy hàm số y = tanx + 2sinx là hàm số lẻ.
+ Dạng 3: Hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ tuần hoàn
– Phương pháp giải: Để chứng minh y = f[x] [có TXĐ D] tuần hoàn, cần chứng minh có T
Giả sử hàm số y = f[x] tuần hoàn, để tìm chu kỳ tuần hoàn ta cần tìm số dương T nhỏ nhất thỏa mãn 2 tính chất trên
– Ví dụ: Hãy chứng minh hàm số y = f[x] = sin2x tuần hoàn với chu kỳ π.
Ta có: f[x + π] = sin 2[ x+π] = sin [2x + 2π] = sin2x = f[x]
Vậy hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π
+ Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số và xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến
– Phương pháp giải:
1. Vẽ đồ thị hàm số theo dạng các hàm số lượng giác
2. Dựa vào đồ thị hàm số vừa vẽ để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
– Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = |cosx| và xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. trên đoạn［0,2π］.
Vẽ đồ thị hàm số y = cosx
Hàm số
Như vậy có thể suy ra được hàm số y = |cosx| từ đồ thị y = cosx như sau:
– Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành [ cosx > 0]
– Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành
Ta được đồ thị y = |cosx| được vẽ như sau:
+ Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến
Từ đồ thị hàm số y = |cosx| được vẽ ở trên, ta xét đoạn ［0,2π］
Hàm số đồng biến khi
Hàm số nghịch biến khi
+ Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
– Phương pháp giải:
Vận dụng tính chất :
– Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Hy vọng với bài viết này sẽ giúp các em hệ thống lại phần hàm số lượng giác và giải bài tập toán 11 phần lượng giác được tốt hơn. Cảm ơn các em đã theo dõi bài viết. Chúc các em học tập tốt.