- \[\left\{ \matrix{{3 \over 2}x - y = {1 \over 2} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.\]
Giải
- Giải hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2[1] \hfill \cr {2 \over 5}x + y = 1[2] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2[1'] \hfill \cr - 2{\rm{x}} - 5y = - 5[2'] \hfill \cr} \right.\]
Cộng [1’] với [2’] vế theo vế, ta được: \[0x + 0y = -3\]
Phương trình này vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Minh họa hình học kết quả tìm được:
- Vẽ đồ thị hàm số \[2x + 5y = 2\].
Cho \[y = 0 ⇒ x = 1\]. Ta xác định được điểm \[A[1; 0]\]
Cho \[y = 1 ⇒ x = -1,5\]. Ta xác định được điểm \[B[-1,5; 1]\].
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A và B
-Vẽ đồ thị hàm số \[{2 \over 5}x + y = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 5y = 5\]
Cho \[x = 0 ⇒ y = 1\]. Ta xác định được điểm \[C[0; 1]\]
Cho \[y = 2 ⇒ x = -2,5\]. Ta xác định được điểm \[D[-2,5; 2]\]
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm C và D.
Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.
- Giải hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{ 0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3[1] \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5[2] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2{\rm{x}} - y = - 3[1'] \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5[2'] \hfill \cr} \right.\]
Cộng [1’] với [2’] vế theo vế, ta được \[x = 2\]
Thế \[x = 2\] vào [2], ta được: \[6 + y = 5 ⇔ y = -1\]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[[x = 2; y = -1]\]
Minh họa hình học:
- Đồ thị hàm số \[0,2x + 0,1y = 0,3\] là một đường thẳng đi qua hai điểm:
\[A[x = 0; y = 3]\] và \[B[x = 1,5; y = 0]\]
- Đồ thị hàm số \[3x + y = 5\] là một đường thẳng đi qua hai điểm \[C[x = 0; y = 5]\] và \[D[x = 1; y = 2]\]
- Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: \[M[x = 2; y = -1]\].
Vậy \[[2; -1]\] là một nghiệm của hệ phương trình.
- Giải hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{ {3 \over 2}x - y = {1 \over 2}[1] \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1[2] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3{\rm{x}} + 2y = - 1[1'] \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1[2'] \hfill \cr} \right.\]
Cộng [1’] và [2’] vế theo vế, ta có: \[0x + 0y = 0\].
Phương trình này có vô số nghiệm.
Nghiệm tổng quát là \[\left[ {x;{3 \over 2}x - {1 \over 2}} \right]\] với \[x ∈ R\]
Minh họa hình học
- Đồ thị hàm số [1] là đường thẳng đi qua hai điểm \[A[0; - {1 \over 2}]\] và \[B[1;1]\] nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trinh có vô số nghiệm.
Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau:
\[\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y = 1 \hfill \cr \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\]
\[\left\{ \matrix{ {{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr {x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Giải:
\[\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y = 1[1] \hfill \cr \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x + y\sqrt 5 = 1[2] \hfill \cr} \right.\]
Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Từ [1] ta có \[x = {{\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y + 1} \over {\sqrt 5 }}[3]\]
Thế [3] vào [2], ta được:
\[\eqalign{ & \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]\left[ {{{\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y + 1} \over {\sqrt 5 }}} \right] + y\sqrt 5 = 1 \cr & \Leftrightarrow \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y + \left[ {1 - \sqrt 3 } \right] + 5y = \sqrt 5 \cr & \Leftrightarrow - 2y + 5y = \sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow y = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3} \cr} \]
Thế y vừa tìm được vào [3], ta được:
\[x = {{\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]\left[ {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3}} \right] + 1} \over {\sqrt 5 }}\] hay \[x = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \[\left[ {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3};{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3}} \right]\]
b]Giải hệ phương trình: [I]
\[\left\{ \matrix{ {{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr {x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Đặt \[u = {x \over {x + 1}};v = {y \over {y + 1}}\]
Thay vào hệ [I], ta có hệ mới với ẩn là \[u\] và \[v\] ta được:
\[\left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 [1'] \hfill \cr u + 3v = - 1[2'] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 [3] \hfill \cr - 2u - 6v = 2[4] \hfill \cr} \right.\]
Cộng [3] và [4] vế theo vế, ta được: \[ - 5{\rm{v}} = 2 + \sqrt 2 \Leftrightarrow v = {{ - \left[ {2 + \sqrt 2 } \right]} \over 5}\]
Thay \[v = {{ - \left[ {2 + \sqrt 2 } \right]} \over 5}\] vào [1’], ta được:
\[2u = {{2 + \sqrt 2 } \over 5} + \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 + 5\sqrt 2 } \over 5} = {{2 + 6\sqrt 2 } \over 5}\]
\[\Leftrightarrow u = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}\]
Với giá trị của \[u,v\] vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm \[x, y\].
Ta có:
\[\left\{ \matrix{ {x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr {y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.đk\left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr y \ne - 1 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \left[ {x + 1} \right]\left[ {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right] \hfill \cr y = \left[ {y + 1} \right]{{\left[ { - 2 - \sqrt 2 } \right]} \over 5} \hfill \cr} \right.\]
\[\left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} = \left[ {x + 1} \right]\left[ {1 + 3\sqrt 2 } \right] \hfill \cr 5y = \left[ {y + 1} \right]\left[ { - 2 - \sqrt 2 } \right] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[\left[ {{{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }};{{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }}} \right]\] thỏa mãn điều kiện
Bài 42 trang 27 SGK Toán 9 tập 2
Giải hệ phương trình\[\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\] trong mỗi trường hợp sau:
- \[m = -\sqrt{2}\] b] \[m = \sqrt{2}\] c] \[m = 1\]
Giải:
[I] \[\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m[1] \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 [2] \hfill \cr} \right.\]
Ta có [1] ⇔ \[y = 2x – m\] [3]
Thế [3] vào [2], ta có:
\[4{\rm{x}} - {m^2}\left[ {2{\rm{x}} - m} \right] = 2\sqrt 2\]
\[ \Leftrightarrow 2\left[ {2 - {m^2}} \right]x = 2\sqrt 2 - {m^3}[*]\]
- Với \[m = - \sqrt{2}\]. Thế vào phương trình [*], ta được:
\[2[2 – 2]x = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} ⇔ 0x = 4\sqrt{2}\]
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
- Với \[m = \sqrt{2}\]. Thế vào phương trình [*], ta được:
\[2[2 – 2]x = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} ⇔ 0x = 0\]
Vậy hệ trình này có vô số nghiệm.
- Với \[m = 1\]. Thế vào phương trình [*], ta được:
\[2.[2-1]x = 2\sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = 2\sqrt 2 - 1\]
\[\Leftrightarrow x = {{2\sqrt 2 - 1} \over 2}\]
Thay \[x\] vừa tìm được vào [3], ta có: \[y = 2\sqrt{2} – 2\]
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là: \[\left[ {{{2\sqrt 2 - 1} \over 2};2\sqrt 2 - 2} \right]\]
Bài 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 2
Bài 43. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Giải:
Gọi \[x\] [m/phút] là vận tốc của người xuất phát từ A và \[y\] [m/phút] là vận tốc của người xuất phát từ B.
Điều kiện: \[x > 0; y > 0\]
- Khi gặp nhau tại điểm cách A là 2km thì người xuất phát từ A đi được 2000 mét, còn người xuất phát từ B đi được 1600 mét.
Ta có phương trình: \[{{2000} \over x} = {{1600} \over y}[1]\]
- Theo đề bài cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn. Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8km = 1800m.
Ta có phương trình \[{{1800} \over x} + 6 = {{1800} \over y}[2]\]
Ta có hệ phương trình: [I] \[\left\{ \matrix{{{2000} \over x} = {{1600} \over y}[1] \hfill \cr {{1800} \over x} + 6 = {{1800} \over y}[2] \hfill \cr} \right.\]
Đặt \[u = {{100} \over x}\] và \[v = {{100} \over y}\] . Thay vào [I], ta được:
\[\left[ I \right] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{20u = 16v \hfill \cr 18u + 6 = 18v \hfill \cr} \right.\]