- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là
ax + by = c [1]
trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.
CHÚ Ý
a. Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số [x0; y0] đều là nghiệm.
b. Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành
y = [-a/b]x + c/b [2]
Cặp số [x0; y0] là một nghiệm của phương trình [1] khi và chỉ khi điểm M[x0; y0] thuộc đường thẳng [2].
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình [1] là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là
Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.
Nếu cặp số [x0; y0] đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì [x0; y0] được gọi là một nghiệm của hệ phương trình [1].
Giải hệ phương trình [1] là tìm tập nghiệm của nó
Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
Xét D | Kết quả | |
D ≠ 0 | Hệ có nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D | |
D = 0 | Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 | Hệ vô nghiệm. |
Dx = Dy = 0 | Hệ có vô số nghiệm. |
Quảng cáo
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm [x; y] của hệ [I] là tọa độ điểm M[x; y] thuộc cả 2 đường thẳng:
[d1]: a1x + b11y = c1 và [d2]: a2x + b2y = c2
+ Hệ [I] có nghiệm duy nhất ⇔[d1] và [d2] cắt nhau.
+ Hệ [I] vô nghiệm ⇔ [d1] và [d2] song song với nhau.
+ Hệ [I] có vô số nghiệm ⇔ [d1] và [d2] trùng nhau.
3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
ax + by + cz = d
trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.
Mỗi bộ ba số [x0, y0, z0] nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình [2].
Phương pháp giải
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Quảng cáo
Bài 1: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a. Ta có: y = 1-√2x ⇒ 3x + √2[1-√2.x] = 2 ⇒ x = 2 - √2 ⇒ y = 3 - 2√2
b. Ta có: Thế y = 4 - 2x vào phương trình y + z = 2 + √2 ta được -2x + z = -2 + √2
Giải hệ
Bài 2: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
ĐK: xy ≠ 0. Khi đó
Bài 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên [a; b] sao cho hệ phương trình
Hướng dẫn:
Ta có ax + y = 2 ⇒ y = 2 - ax
Thay vào phương trình 6x + by = 6 có
6x + b[2-ax] = 6 ⇔ x[6-ab] + 2b - 6 = 0
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình x[6-ab] + 2b - 6 = 0 vô nghiệm
Do [a; b] nguyên nên [a; b] = {[6; 1]; [1; 6]; [-6; -1]; [-1; -6]; [-2; -3]; [-3; -2]; [3; 2]}
Bài 4: Gọi [x0; y0; z0] là nghiệm của hệ phương trình
Tính giá trị của biểu thức P = x0y0z0
Hướng dẫn:
Ta có
Phương trình [3] ⇔ z = 24 - 3x - 2y. Thay vào [1] và [2] ta được hệ phương trình
Suy ra z = 24 - 3.4 - 2.5 = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y; z] = [4; 5; 2] → P = 4.5.2 = 40
Bài 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình
Hướng dẫn:
Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra
Hệ phương trình
Có nghiệm duy nhất khi [1; -2] là nghiệm của phương trình 2mx + 5y - m = 0 tức là 2m.1 + 5.[-2] - m = 0 ⇔ m = 10
Bài 6: Cho hệ phương trình
Hướng dẫn:
Ta có :
Đẳng thức xảy ra khi a = 1/2
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp