Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC]. Kẻ đường cao AH \[\left[ {H \in BC} \right]\]
a] Chứng minh rằng tam giác ABH đồng dạng với tam giác ABC.
Suy ra: AH.BC = AB.AC.
b] Chứng minh rằng AC2 = CH.CB
c] Chứng minh rằng AH2 = HB.HC.
Lời giải chi tiết
a] Xét ABH và ABC có: \[\widehat B\] [chung] và \[\widehat {AHB} = \widehat {BAC}[ = 90^\circ ]\]
\[ \Rightarrow \Delta ABH \sim \Delta CBA[g.g]\]
\[\Rightarrow {{AH} \over {CA}} = {{AB} \over {BC}} \Rightarrow AH.BC = AB.AC\]
b] Xét ACH và ABC có: \[\widehat C\] [chung] và \[\widehat {AHC} = \widehat {BAC}[ = 90^\circ ]\]
\[ \Rightarrow \Delta ACH \sim \Delta BCA[g.g]\]
\[\Rightarrow {{AC} \over {BC}} = {{CH} \over {AC}} \Rightarrow A{C^2} = BC.CH\]
c] Xét ABH và AHC có: \[\widehat {AHB} = \widehat {AHC}[ = 90^\circ ]\] và \[\widehat {HAB} = \widehat {ACH}\] [cùng phụ với góc B]
\[ \Rightarrow \Delta ABH \sim \Delta CAH[g.g]\]
\[\Rightarrow {{AH} \over {CH}} = {{BH} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = CH.BH\]