Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 2

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

• Phương trình bậc nhất hai ẩn và cách giải bài tập

A. Phương pháp giải

Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm.

Quảng cáo

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng [d] ax + by = c.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho phương trình 3x - 2y = 1

a] Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

b] Tìm nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Quảng cáo

Bài 2: Xác định phương trình bậc nhất hai ẩn có các nghiệm là [1;-3] và [-2;0]. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình đó.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát ax + by = c [a ≠ 0 hoặc b ≠ 0]

+ Thay x = 1; y = -3 và phương trình ta có: a – 3b = c [1]

+ Thay x = -2; y = 0 vào phương trình ta có: -2a = c [2]

Thay [2] vào [1] ta được a - 3b = -2a ⇔ 3a = 3b ⇔ a = b.

Khi đó phương trình có dạng ax + ay = -2a ⇔ x + y = -2 [do a ≠ 0].

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là x ∈ R và y= -x - 2 hoặc x= -y - 2 và y ∈ R

Bài 3: Viết công thức nghiệm của các phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

a] 3x - y = 1/2

b] x + 5y = 0

Hướng dẫn giải

a] 3x - y = 1/2

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:

x ∈ R; y = 3x - 1/2

Quảng cáo

Biểu diễn hình học:

b] x + 5y = 0

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:

x ∈ R; y = -x/5

Biểu diễn hình học

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

a] x + 3y = 1

b] 4x - 5y = 24

Hướng dẫn giải

Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trước mỗi chuyên đề mới, chúng tôi đều có những bài giảng và cung cấp kiến thức ôn tập cũng như củng cố kiến thức cho các em học sinh. Hôm nay, chúng ta sẽ đến với chuyên đề về Phương trình bậc hai, cách giải phương trình bậc 2. Cùng tìm câu trả lời cho những thông tin ấy bằng cách theo dõi nội dung dưới đây.

6 dạng toán giải phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 [a≠0]

Trong đó:  

• x: là ẩn số 
• a, b, c: là các số đã biết gắn với biến x sao cho: a ≠ 0.

Giải phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 theo biệt thức delta Δ.

– Đặt Δ = b2 – 4ac

• Nếu Δ < 0 thì phương trình bậc 2 vô nghiệm.
• Nếu Δ = 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm kép x1 = x2 = -b/2a. 
• Nếu Δ > 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm x1, x2 như sau:

                         

       và       

– Tính Δ’ = b2 – ac [b = 2b’]

• Nếu Δ’ < 0 thì phương trình bậc 2 vô nghiệm.
• Nếu Δ’ = 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm kép x1 = x2 = -b’/a. 
• Nếu Δ’ > 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm x1, x2: 

                         

      và     

Bảng công thức nghiệm phương trình bậc 2

Công thức Vi-ét về quan hệ giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau:

– Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn ax2 + bx + c [a≠0] thì:

– Ta có thể sử dụng định lý Vi-ét để tính các biểu thức của x1, x2 theo a,b,c như sau:

Định lý Vi-ét đảo:

– Nếu x1 + x2 = S = -b/a và x1.x2 = P = c/a thì x1, x2 là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0 [điều kiện S2 – 4P ≥ 0]

Giải phương trình 4x2 – 2x – 6 = 0 [*]

Ta có: Δ = [-2]2 – 4.4.[-6] = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình [*] đã cho có 2 nghiệm phân biệt là: 

– Nếu phương trình bậc hai có: a + b + c = 0 [với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0] thì nghiệm của phương trình là: 

x1 = 1; x2 = c/a. 

– Nếu phương trình bậc hai có: a – b + c =0 [với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0] thì nghiệm phương trình là:

x1 = – 1; x2 = – c/a.

– Nếu ac < 0 [a, c trái dấu nhau] thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

– Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc 2 đầy đủ.

+ Xác định phương trình bậc 2 có dạng ax2 + bx + c với a≠0.

+ Tính Δ, biện luận Δ. 

+ Suy ra nghiệm của phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a] x2 – 5x + 4 = 0

Lời giải:

– Sử dụng công thức nghiệm ta có:

Vì 

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

   

     và   

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 4.  

– Đây là dạng toán phương trình trùng phương, đưa phương trình bậc 4 về phương trình bậc 2.

– Phương pháp:

+ Đặt t = x2 [t ≥ 0], đưa về dạng phương trình bậc 2: at2 + bt + c = 0.

+ Giải phương trình bậc 2 theo t, kiểm tra t có thỏa mãn điều kiện [t ≥ 0] hay không. Sau đó suy ra nghiệm x của phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình bậc 2 sau:

a] x4 – 3x2 + 2 = 0

Giải:

Ta có x4 – 3x2 + 2 = 0 [*]

– Đặt t = x2 [t ≥ 0], ta có [*] t2 – 3t + 2 = 0

– Ta thấy a + b + c = 1 + [-3] + 2 = 0 => phương trình có nghiệm là t = 1 hoặc t = 2 [thỏa mãn điều kiện [t ≥ 0]].

– Với t = 1: x2 = 1 => x = + 1 hoặc x = -1.

– Với t = 2: x2 = 2 => x = √2 hoặc x = -√2.

Kết luận nghiệm của phương trình x = + 1 hoặc x = -1 và x = √2 hoặc x = -√2.

– Nhẩm nghiệm của phương trình có dạng đặc biệt. 

+ Nếu phương trình bậc 2 có: a + b + c = 0 [với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0] thì nghiệm của phương trình là: 

x1 = 1; x2 = c/a. 

+ Nếu phương trình bậc 2 có: a – b + c =0 [với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0] thì nghiệm phương trình là:

x1 = – 1; x2 = – c/a.

Ví dụ: Giải phương trình bậc 2 sau:

a] 3x2 – 4x + 1 = 0

Giải:

– Nhận thấy vì a + b + c = 3 + [-4] + 1 = 0 => phương trình có nghiệm là:

x = 1 và x = c/a = 1/3.

Lưu ý: Nếu gặp trường hợp có thể đưa về dạng hằng đẳng thức thì chúng ta giải nghiệm phương trình bậc 2 nhanh hơn. Chẳng hạn như phương trình 

x2 – 2x + 1 có a + b + c = 0 được đưa về dạng hằng đẳng thức là [x – 1]2 = 0 => x = 1.

– Đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0 [với a≠ 0] kể cả với ẩn m.

– Dựa theo điều kiện có nghiệm, hay vô nghiệm hay có nghiệm kép để tìm điều kiện của Δ.

– Dựa theo điều kiện của Δ để rút ra điều kiện của ẩn m.

– Giải nghiệm phương trình chứa ẩn m như bình thường.

– Dựa theo điều kiện nghiệm số của đề bài để tính ẩn m. 

Ví dụ:

Cho phương trình 3x2 -2[m + 1]x + 3m – 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Giải:

– Ta có: 3x2 -2[m + 1]x + 3m – 5 = 0 [*]

– Theo yêu cầu đề bài: để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia có nghĩa là phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ’ > 0 

[m + 1]2 -3.[3m – 5] > 0

m2 + 2m + 1 – 9m + 15  > 0

m2 -7m + 16  > 0

[m – 7/2]2 + 15/4 > 0

Ta thấy, Δ’ > 0 với mọi m ∈ R nên phương trình [*] luôn có hai nghiệm phân biệt.

– Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, khi đó theo định lý Vi-ét ta có:

                   

    và  

 [1]

– Theo đề bài phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia, nên không tính tổng quát khi giả sử x2 = 3.x1 thay vào [1]

m2 + 2m + 1 = 4[3m – 5]

m2 -10m + 21 = 0

m = 3 hoặc m = 7

+ TH1: Với m = 3, phương trình [*] trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm là x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ TH2: Với m = 7, phương trình [*] trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm là x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

Kết luận: m = 3 thì phương trình có 2 nghiệm là 2/3 và 2;  m = 7  thì phương trình có 2 nghiệm là 4/3 và 4.  

– Phương trình bậc 2 ax2 + bx + c = 0 mà khuyết hạng tử tự do, có nghĩa là c = 0. Khi đó phương trình có dạng ax2 + bx = 0.

– Lúc này ta phân tích vế trái thành nhân tử rồi tính x.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

7x2 – 4x = 0

Giải: 

7x2 – 4x = 0

x[7x – 4] = 0

x = 0 hoặc 7x – 4 = 0

x = 0 hoặc x = 4/7.

Phương pháp:

– Phương trình có hai nghiệm trái dấu  

– Phương trình có hai nghiệm cùng dấu:  

– Phương trình có hai nghiệm dương:  

– Phương trình có hai nghiệm âm:    

Giải bài tập phương trình bậc 2

Bài 1: Giải các phương trình bậc 2 sau: 

a] 2x2 – 7x + 3 = 0

b] 3x2 + 2x + 5 = 0

c] x2 – 8x +16 = 0

d] 2x2 – 3x + 1 = 0

e] 3x2 + 5x + 2 = 0

Bài 2: Cho phương trình [2m – 1]x2 – 2mx + 1 = 0. Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng [-1,0]. 

Bài 3: Giải các phương trình bậc 2 sau:

a] x2 – 11x + 30 = 0

b] x2 – 16x + 84 = 0

c] x2 – 10x + 21 = 0

d] x2 + 2x – 8 = 0

e] x2 – 12x + 27 = 0

f] 5x2 + 8x + 4 = 0

g] 5x2 – 17x + 12 = 0

h] x2 – 2[√3 + √2]x + 4√6 = 0

j] 3x2 – 19x – 22 = 0

k] x2 – [1+√2]x + √2 = 0

l] 3x2 – 2√3x – 3 = 0

Bài 4: Cho phương trình bậc 2 ẩn x, tham số m: x2 + mx + m + 3 = 0

a] Giải phương trình với m = -2

b] Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tính x12 + x22 theo m.

c] Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 9.

d] Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = -3. Tính nghiệm còn lại.

f] Tìm m để phương trình có  hai nghiệm trái dấu.

Hãy sử dụng những phương pháp giải phương trình bậc 2 theo các dạng trên, các em sẽ dễ dàng giải quyết những bài toán khó và những bài toán thường xuất hiện trong đề thi. Nếu có câu hỏi về bài toán hãy để lại comment cho chúng tôi nhé, chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ các em.