Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình \[\left[ {{3}^{x+2}}-\sqrt{3} \right]\left[ {{3}^{x}}-2m \right]1 => \[{{\log }_{3}}2m>0\].

\[{{3}^{x+2}}-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow {{3}^{x+2}}={{3}^{\frac{1}{2}}}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\]

\[{{3}^{x}}-2m=0\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}2m\].

Lập bảng biến thiên, ta kết luận: tập nghiệm bất phương trình này là \[\left[ -\frac{3}{2};{{\log }_{3}}2m \right]\]

Suy ra, \[{{\log }_{3}}2m\le 8\Leftrightarrow 2m\le {{3}^{8}}\Leftrightarrow m\le \frac{6561}{2}=3280.5\]. 

Câu hỏi: Giá trị nguyên dương nhỏ nhất của tham số $m$ để bất phương trình ${{4}^{x}}-2018m{{.2}^{x-1}}+3-1009m\le 0$ có nghiệm là
A. $m=1$
B. $m=2$
C. $m=3$
D. $m=4$

Lời giải

​

Đặt $t={{2}^{x}},t>0$.
Khi đó bất phương trình trở thành ${{t}^{2}}-1009mt+3-1009m\le 0$
$\Leftrightarrow 1009m\ge \dfrac{{{t}^{2}}+3}{t+1}$ [do $t>0$ ].
Xét $f\left[ t \right]=\dfrac{{{t}^{2}}+3}{t+1}$, ta có ${f}'\left[ t \right]=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left[ t+1 \right]}^{2}}}$
${f}'\left[ t \right]=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right.$$\overset{t>0}{\mathop{\Rightarrow }} t=1$

ycbt $\Leftrightarrow 1009m\ge \underset{t>0}{\mathop{\min }} f\left[ t \right]=2\Leftrightarrow m\ge \dfrac{2}{1009}$.
Vậy $m=1$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $m{{.9}^{x}}-\left[ 2m+1 \right]{{.6}^{x}}+m{{.4}^{x}}\le 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ 0;1 \right]?$
A. 5
B. Vô số
C. 8
D. 6

Lời giải

Ta có $m{{.9}^{x}}-\left[ 2m+1 \right]{{.6}^{x}}+m{{.4}^{x}}\le 0\Leftrightarrow m.{{\left[ \dfrac{3}{2} \right]}^{2x}}-\left[ 2m+1 \right].{{\left[ \dfrac{3}{2} \right]}^{x}}+m\le 0\left[ * \right]$
Đặt $t={{\left[ \dfrac{3}{2} \right]}^{x}},$ khi $x\in \left[ 0;1 \right]$ thì $t\in \left[ 1;\dfrac{3}{2} \right].$
Ta có [*] trở thành $m.{{t}^{2}}-\left[ 2m+1 \right].t+m\le 0$
$\Leftrightarrow m.{{\left[ t-1 \right]}^{2}}\le t\Leftrightarrow m\le \dfrac{t}{{{\left[ t-1 \right]}^{2}}}$ [vì ${{\left[ t-1 \right]}^{2}}>0,$ với mọi $t\in \left[ 1;\dfrac{3}{2} \right]].$
Xét hàm số $f\left[ t \right]=\dfrac{t}{{{\left[ t-1 \right]}^{2}}},$ với $t\in \left[ 1;\dfrac{3}{2} \right].$
Ta có $f'\left[ t \right]=\dfrac{-t-1}{{{\left[ t-1 \right]}^{3}}}0]. PT trở thành t2-4t+m-1≤0[1]

PT[*] có nghiệm khi PT[1] có nghiệm

[1]⇔-t2+4t+1≥m

Đặt f[t]=-t2+4t+1=-[t-2]2+5

Ta thấy max f[t] = 5. Vậy đểf[t]≥m thì m≤5

KL: có 5 giá trị nguyên của m