Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

adsense

Cho tứ diện \[OABC\] có \[OA,OB,OC\] đôi một vuông góc với nhau. Kí hiệu \[S,{S_1},{S_2},{S_3}\] lần lượt là diện tích các tam giác \[ABC,OAB,OBC,OCA\]. Chứng minh rằng

\[\frac{{S_1^2}}{{2S_1^2 + {S^2}}} + \frac{{S_2^2}}{{2S_2^2 + {S^2}}} + \frac{{S_3^2}}{{2S_3^2 + {S^2}}} \le \frac{3}{5}\].

Lời giải

Đặt \[OA = a,OB = b,OC = c\]. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[O\] xuống \[AB\], \[\alpha \] là góc giữa \[\left[ {ABC} \right]\] và \[\left[ {OAB} \right]\].

Ta có \[\frac{{{S^2}}}{{S_1^2}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha  + 1 = \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} + 1 = \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\]

suy ra \[\frac{{S_1^2}}{{2S_1^2 + {S^2}}} = \frac{1}{{2 + \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}}}} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{3{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\].

Tương tự ta có \[\frac{{S_2^2}}{{2S_2^2 + {S^2}}} = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + 3{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\],\[\frac{{S_3^2}}{{2S_3^2 + {S^2}}} = \frac{{{c^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + 3{c^2}{a^2}}}\]

adsense

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}x = {a^2}{b^2}\\y = {b^2}{c^2}\\z = {c^2}{a^2}\end{array} \right.\] và biểu thức \[F = \frac{x}{{3x + y + z}} + \frac{y}{{x + 3y + z}} + \frac{z}{{x + y + 3z}}\].

Do \[F\] là biểu thức thuần nhất nên ta có thể giả sử \[x + y + z = 3\]. Khi đó

\[F = \frac{x}{{2x + 3}} + \frac{y}{{2y + 3}} + \frac{z}{{2z + 3}}\].

Dễ dàng chứng minh được \[\frac{x}{{2x + 3}} \le \frac{{3x + 2}}{{25}}\] với mọi \[x > 0\] [biến đổi tương đương].

Áp dụng cho \[x,y,z\] ta được

\[F \le \frac{{3x + 2}}{{25}} + \frac{{3y + 2}}{{25}} + \frac{{3z + 2}}{{25}} = \frac{3}{5}\].

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[x = y = z = 1\] hay \[a = b = c\].