Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

adsense

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Kí hiệu \(S,{S_1},{S_2},{S_3}\) lần lượt là diện tích các tam giác \(ABC,OAB,OBC,OCA\). Chứng minh rằng

\(\frac{{S_1^2}}{{2S_1^2 + {S^2}}} + \frac{{S_2^2}}{{2S_2^2 + {S^2}}} + \frac{{S_3^2}}{{2S_3^2 + {S^2}}} \le \frac{3}{5}\).

Lời giải

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Đặt \(OA = a,OB = b,OC = c\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) xuống \(AB\), \(\alpha \) là góc giữa \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {OAB} \right)\).

Ta có \(\frac{{{S^2}}}{{S_1^2}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha  + 1 = \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} + 1 = \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\)

suy ra \(\frac{{S_1^2}}{{2S_1^2 + {S^2}}} = \frac{1}{{2 + \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}}}} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{3{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\).

Tương tự ta có \(\frac{{S_2^2}}{{2S_2^2 + {S^2}}} = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + 3{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\),\(\frac{{S_3^2}}{{2S_3^2 + {S^2}}} = \frac{{{c^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + 3{c^2}{a^2}}}\)

adsense

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = {a^2}{b^2}\\y = {b^2}{c^2}\\z = {c^2}{a^2}\end{array} \right.\) và biểu thức \(F = \frac{x}{{3x + y + z}} + \frac{y}{{x + 3y + z}} + \frac{z}{{x + y + 3z}}\).

Do \(F\) là biểu thức thuần nhất nên ta có thể giả sử \(x + y + z = 3\). Khi đó

\(F = \frac{x}{{2x + 3}} + \frac{y}{{2y + 3}} + \frac{z}{{2z + 3}}\).

Dễ dàng chứng minh được \(\frac{x}{{2x + 3}} \le \frac{{3x + 2}}{{25}}\) với mọi \(x > 0\) (biến đổi tương đương).

Áp dụng cho \(x,y,z\) ta được

\(F \le \frac{{3x + 2}}{{25}} + \frac{{3y + 2}}{{25}} + \frac{{3z + 2}}{{25}} = \frac{3}{5}\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 1\) hay \(a = b = c\).

Reader Interactions

Câu hỏi

Cho tứ diện \(OABC\)  có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\)đôi một vuông góc  với nhau và  \(OA = OB = OC = 1\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)  (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng \(OM\)và \(AB\)bằng:

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

  • A \({90^0}\)
  • B \({30^0}\)
  • C \({60^0}\)
  • D \({45^0}\)

Phương pháp giải:

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác

\( \Rightarrow MN//AB\)\( \Rightarrow \angle \left( {OM;AB} \right) = \angle \left( {OM;MN} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác

\( \Rightarrow MN//AB\)\( \Rightarrow \angle \left( {OM;AB} \right) = \angle \left( {OM;MN} \right)\).

Trong tam giác vuông \(OBC\) có \(OM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Trong tam giác vuông \(OAC\) có \(ON = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Trong tam giác vuông \(OAB\) có \(MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow OM = ON = MN = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \Delta OMN\) đều \( \Rightarrow \angle OMN = {60^0}\).

Vậy \(\angle \left( {OM;AB} \right) = {60^0}\).

Chọn C.

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Những câu hỏi liên quan

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

Tất cả Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Âm nhạc Mỹ thuật Tiếng anh thí điểm Lịch sử và Địa lý Thể dục Khoa học Tự nhiên và xã hội Đạo đức Thủ công Quốc phòng an ninh Tiếng việt Khoa học tự nhiên

  • Tuần
  • Tháng
  • Năm

  • Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

    41 GP

  • Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

    38 GP

  • Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

    30 GP

  • Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

    22 GP

  • Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

    22 GP

  • Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

    17 GP

  • Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

    11 GP

  • Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

    8 GP

  • Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

    7 GP

  • Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA, OB=2OC Gọi M là trung điểm BC

    7 GP