Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, \[\widehat {ABC} = {30^0}\]; SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng [SAB].
- A.
\[d\left[ {C,\left[ {SAB} \right]} \right] = \frac{{a\sqrt {13} }}{{13}}\] - B.
\[d\left[ {C,\left[ {SAB} \right]} \right] = \frac{{a\sqrt {26} }}{{13}}\] - C.
\[d\left[ {C,\left[ {SAB} \right]} \right] = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\] - D.
\[d\left[ {C,\left[ {SAB} \right]} \right] = \frac{{a\sqrt {52} }}{{13}}\]
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đáp án đúng: C
Gọi E là trung điểm cuả BC khi đó: \[SE \bot \left[ {ABC} \right]\]và\[SE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Ta có: \[BC = a \Rightarrow AB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};AC = \frac{a}{2}\]
Vậy thể tích của khối chóp là: \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{{16}}\].
Để tính khoảng cách từ C đến [SAB] ta cần tính diện tích tam giác SAB.
Ta có: \[AB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,SB = a;\,SA = \sqrt {S{E^2} + E{A^2}} = \sqrt {{{\left[ {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right]}^2} + {{\left[ {\frac{a}{2}} \right]}^2}} = a\]
Áp dụng công thức Heron ta được:
\[{S_{\Delta SAB}} = \sqrt {p[p SA][p SB][p AB]} = \frac{{\sqrt {39} }}{{16}}{a^2}\]
\[d\left[ {C,\left[ {SAB} \right]} \right] = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\]
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải!