Với Công thức tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng hay, chi tiết Toán lớp 9 chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ các Công thức tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng từ đó biết cách làm bài tập Toán 9. Mời các bạn đón xem:
Công thức tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng hay, chi tiết - Toán lớp 9
I. Lý thuyết.
+ Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’ với a ≠0 và a’ ≠0 .
Hai đường thẳng này có duy nhất một điểm chung khi chúng cắt nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung khi chúng song song.
Hai đường thẳng có vô số điểm chung khi chúng trùng nhau.
+ Muốn tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng ta làm như sau [d và d’ cắt nhau]
Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’.
ax + b = a’x + b’ [1]
Chú ý:
+ Phương trình [1] vô nghiệm thì d // d’.
+ Phương trình [1] luôn đúng với mọi giá trị x thì d và d’ trùng nhau.
+ Với a ≠ a’, phương trình [1] có nghiệm duy nhất.
[1] ⇔ax−a'x=−b+b'
⇔xa−a'=−b+b'
⇔x=−b+b'a−a'
Ta chuyển qua bước 2
Bước 2: Thay x vừa tìm được vào d hoặc d’ để tính y
Ví dụ thay x vào d ⇒y=a.−b+b'a−a'+b
Bước 3: Kết luận tọa độ giao điểm.
II. Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng sau:
a] d: y = 3x – 2 và d’: y = 2x + 1;
b] d: y = 4x – 3 và d’: y = 2x + 1.
Lời giải:
a] Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:
3x – 2 = 2x + 1
⇔3x−2x=1+2
⇔x=3
Thay x = 3 và d ta được:
y=3.3−2=9−2=7
Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là A[3; 7].
b] Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:
4x – 3 = 2x + 1
⇔4x−2x=3+1
⇔2x=4
⇔x=2
Thay x vào d ta được: y=4.2−3=5
Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là B[2; 5].
Ví dụ 2: Tìm tham số m để:
a] d: y = 2mx + 5 và d’: y = 4x + m cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.
b] d: y = [3m – 2]x – 4 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
Lời giải:
a] Phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là:
2mx + 5 = 4x + m.
Vì hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên thay x = 1 vào phương trình hoành độ giao điểm ta có:
2m.1 + 5 = 4.1 + m
⇔2m+5=4+m
⇔2m−m=4−5
⇔m=−1
Vậy m = -1 thì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.
b] Vì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên giao điểm của d với trục hoành là A[3; 0]. Thay tọa độ điểm A vào d ta được:
0 = [3m – 2].3 – 4
⇔0=9m−6−4
⇔9m=10
⇔m=109
Vậy m=109 thì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:
Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến hay, chi tiết
Công thức vẽ đồ thị hàm số bậc nhất hay, chi tiết
Công thức về hệ số góc của đường thẳng hay, chi tiết
Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hay, chi tiết
Với Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
A. Phương pháp giải
1. Với hai đường thẳng y=ax+b [d] và y=a'x + b' [ trong đó a và a’ khác 0], ta có:
+ [d] và [d’] cắt nhau ⇔ a ≠ a'.
+ [d] và [d’] song song với nhau ⇔ a = a' và b ≠ b’.
+ [d] và [d’] trùng nhau ⇔ a = a' và b = b’
+ [d] và [d’] vuông góc với nhau ⇔ a.a'= -1
2. Tọa độ giao điểm của [d] và [d’] là nghiệm của hệ phương trình:
y= ax + b.
y= a'x + b'.
+ Điểm A[xA; yA] ∈ [d] ⇔ Tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình của [d].
B. Bài tập tự luận
Bài 1: Tìm m để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau:
a, [d1]: y= [m+2]x - m + 1 và [d2]: y= [2m-5]x +m.
b, [d1]: y= [3m-1]x - 2m + 1 và [d2]: y= [4-2m]x -m.
Hướng dẫn giải
a] [d1]: y = [m+2]x - m + 1 có hệ số a1 = m+2, b1 = -m +1
[d2]: y = [2m-5]x + m có hệ số a2 = 2m - 5, b2 = m
Vậy khi m = 7 thì [d1] song song với [d2]
Bài 2: Cho đường thẳng [AB]: y = -1/3x + 2/3; [BC]: y = 5x+1; [CA]: y = 3x. Xác định tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC
Hướng dẫn giải
Điểm B là giao điểm của [AB] và [BC]:
Phương trình hoành độ giao điểm B:
Điểm A là giao điểm của [AB] và [AC] nên:
Phương trình hoành độ giao điểm A:
-1/3x + 2/3 = 3x
⇔ 3x + 1/3x = 2/3
⇔ x.10/3 = 2/3
⇔ x = 1/5
=> y = 3.1/5 = 3/5
Vậy A[1/5;3/5]
Điểm C là giao điểm của [BC] và [AC] nên:
Phương trình hoành độ giao điểm C:
5x + 1 = 3x
⇔ 2x = -1
⇔ x = -1/2
> y = 3.[-1/2] = -3/2
Vậy C[-1/2;-3/2]
Bài 3: Cho đường thẳng [d] có dạng: y= [m+1]x -2m. Tìm m để:
a, Đường thẳng [d] đi qua điểm A[3;-1]
b, Đường thẳng [d] cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -1
c, Đường thẳng [d] song song với đường thẳng [d’]: y=-2x+2
d, Đường thẳng [d] vuông góc với đường thẳng y= -3x-1
e, Đường thẳng [d] có hệ số góc là 3
f, Đường thẳng [d] có tung độ gốc là √2
g, Đường thẳng [d] có góc tạo bởi đường thẳng [d] và trục Ox là góc tù
Hướng dẫn giải
a, Cho [d]: y= [m+1]x -2m.
Điểm A[3;-1] thuộc [d]
⇔ -1 = [m+1].3 - 2m
⇔ -1 = 3m + 3 - 2m.
⇔ -4 = m
Vậy m = -4.
b, Tọa độ giao điểm của [d] với trục hoành là I[-1;0]
0 = [m+1][-1] - 2m.
⇔ 0 = -m - 1 - 2m ⇔ 3m = -1 ⇔ m = -1/3
Vậy m= -1/3
c, [d] song song với [d’]: y=-2x+2
⇔ m + 1 = -2 và -2m ≠ 2
⇔ m = -3 và m ≠ -1
⇔ m = -3
Vậy m = -3
d, Đường thẳng [d] vuông góc với đường thẳng: y=-3x-1
⇔ [m+1][-3] = -1 ⇔ m + 1 = 1/3 ⇔ m = -2/3
Vậy m = -2/3
e, Đường thẳng [d] có hệ số góc là 3 ⇔ m + 1 = 3 ⇔ m = 2
f, Đường thẳng [d] có tung độ gốc là √2, tức là [d] đi qua điểm B[0, √2]
⇔ -2m = √2
⇔ m = -√2/2
g, Góc tạo bởi đường thẳng [d] và trục Ox là góc tù:
⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < -1
Vậy m < -1.
Bài 4: Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy.
[d1]: y= [m+2]x - 3m
[d2]: y= 2x + 4
[d3]: y= -3x - 1
Hướng dẫn giải
Gọi A là giao điểm của [d2] và [d3]:
Phương trình hoành độ giao điểm A:
2x + 4 = -3x - 1
⇔ 5x = -5
⇔ x = -1
=> y = 2[-1] + 4 = 2
=> A[-1;2]
Để [d1];[d2];[d3] đồng quy thì A[-1;2] ∈ [d1]
⇔ 2 = [m+2].[-1] - 3m
⇔ 2 = -m - 2 - 3m
⇔ 4 = -4m
⇔ m = -1
Vậy khi m = -1 thì [d1];[d2];[d3] đồng quy tại A[-1;2].
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
A. Phương pháp giải
1. Với hai đường thẳng y=ax+b [d] và y=a'x + b' [ trong đó a và a’ khác 0], ta có:
+ [d] và [d’] cắt nhau ⇔ a ≠ a'.
Quảng cáo
+ [d] và [d’] song song với nhau ⇔ a = a' và b ≠ b’.
+ [d] và [d’] trùng nhau ⇔ a = a' và b = b’
+ [d] và [d’] vuông góc với nhau ⇔ a.a'= -1
2. Tọa độ giao điểm của [d] và [d’] là nghiệm của hệ phương trình:
y= ax + b.
y= a'x + b'.
+ Điểm A[xA; yA] ∈ [d] ⇔ Tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình của [d].
B. Bài tập tự luận
Quảng cáo
Bài 1: Tìm m để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau:
a, [d1]: y= [m+2]x - m + 1 và [d2]: y= [2m-5]x +m.
b, [d1]: y= [3m-1]x - 2m + 1 và [d2]: y= [4-2m]x -m.
Hướng dẫn giải
a] [d1]: y = [m+2]x - m + 1 có hệ số a1 = m+2, b1 = -m +1
[d2]: y = [2m-5]x + m có hệ số a2 = 2m - 5, b2 = m
Vậy khi m = 7 thì [d1] song song với [d2]
Bài 2: Cho đường thẳng [AB]: y = -1/3x + 2/3; [BC]: y = 5x+1; [CA]: y = 3x. Xác định tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC
Hướng dẫn giải
Điểm B là giao điểm của [AB] và [BC]:
Phương trình hoành độ giao điểm B:
Điểm A là giao điểm của [AB] và [AC] nên:
Phương trình hoành độ giao điểm A:
-1/3x + 2/3 = 3x
⇔ 3x + 1/3x = 2/3
⇔ x.10/3 = 2/3
⇔ x = 1/5
=> y = 3.1/5 = 3/5
Vậy A[1/5;3/5]
Điểm C là giao điểm của [BC] và [AC] nên:
Phương trình hoành độ giao điểm C:
5x + 1 = 3x
⇔ 2x = -1
⇔ x = -1/2
> y = 3.[-1/2] = -3/2
Vậy C[-1/2;-3/2]
Quảng cáo
Bài 3: Cho đường thẳng [d] có dạng: y= [m+1]x -2m. Tìm m để:
a, Đường thẳng [d] đi qua điểm A[3;-1]
b, Đường thẳng [d] cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -1
c, Đường thẳng [d] song song với đường thẳng [d’]: y=-2x+2
d, Đường thẳng [d] vuông góc với đường thẳng y= -3x-1
e, Đường thẳng [d] có hệ số góc là 3
f, Đường thẳng [d] có tung độ gốc là √2
g, Đường thẳng [d] có góc tạo bởi đường thẳng [d] và trục Ox là góc tù
Hướng dẫn giải
a, Cho [d]: y= [m+1]x -2m.
Điểm A[3;-1] thuộc [d]
⇔ -1 = [m+1].3 - 2m
⇔ -1 = 3m + 3 - 2m.
⇔ -4 = m
Vậy m = -4.
b, Tọa độ giao điểm của [d] với trục hoành là I[-1;0]
0 = [m+1][-1] - 2m.
⇔ 0 = -m - 1 - 2m ⇔ 3m = -1 ⇔ m = -1/3
Vậy m= -1/3
c, [d] song song với [d’]: y=-2x+2
⇔ m + 1 = -2 và -2m ≠ 2
⇔ m = -3 và m ≠ -1
⇔ m = -3
Vậy m = -3
d, Đường thẳng [d] vuông góc với đường thẳng: y=-3x-1
⇔ [m+1][-3] = -1 ⇔ m + 1 = 1/3 ⇔ m = -2/3
Vậy m = -2/3
e, Đường thẳng [d] có hệ số góc là 3 ⇔ m + 1 = 3 ⇔ m = 2
f, Đường thẳng [d] có tung độ gốc là √2, tức là [d] đi qua điểm B[0, √2]
⇔ -2m = √2
⇔ m = -√2/2
g, Góc tạo bởi đường thẳng [d] và trục Ox là góc tù:
⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < -1
Vậy m < -1.
Bài 4: Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy.
[d1]: y= [m+2]x - 3m
[d2]: y= 2x + 4
[d3]: y= -3x - 1
Hướng dẫn giải
Gọi A là giao điểm của [d2] và [d3]:
Phương trình hoành độ giao điểm A:
2x + 4 = -3x - 1
⇔ 5x = -5
⇔ x = -1
=> y = 2[-1] + 4 = 2
=> A[-1;2]
Để [d1];[d2];[d3] đồng quy thì A[-1;2] ∈ [d1]
⇔ 2 = [m+2].[-1] - 3m
⇔ 2 = -m - 2 - 3m
⇔ 4 = -4m
⇔ m = -1
Vậy khi m = -1 thì [d1];[d2];[d3] đồng quy tại A[-1;2].
Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.