1. Định nghĩa
- Khoảng cách từ điểm \[M\] đến đường thẳng \[\Delta \] là khoảng cách giữa hai điểm \[M\] và \[H\], trong đó \[H\] là hình chiếu của điểm \[M\] trên đường thẳng \[\Delta \].
Kí hiệu: \[d\left[ {M,\Delta } \right] = MH\] trong đó \[H\] là hình chiếu của \[M\] trên \[\Delta \].
2. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phương pháp:
Để tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta $ ta cần xác định được hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên đường thẳng $\Delta $, rồi xem $MH$ là đường cao của một tam giác nào đó để tính.
Điểm $H$ thường được dựng theo hai cách sau:
Cách 1: Trong $mp\left[ {M,\Delta } \right]$ vẽ $MH \bot \Delta \Rightarrow d\left[ {M,\Delta } \right] = MH$
Cách 2: Dựng mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ qua $M$ và vuông góc với $\Delta $ tại $H$.
Khi đó $d\left[ {M,\Delta } \right] = MH$.
Ví dụ: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ với $SA$ vuông góc với $\left[ {ABC} \right]$ và $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}3a.$ Diện tích tam giác $ABC$ bằng \[2{a^2},BC = a\]. Khoảng cách từ $S$ đến $BC$ bằng bao nhiêu?
A. \[2a.\]
B. $4a.$
C. $3a.$
D. $5a.$
Hướng dẫn giải:
Kẻ $AH$ vuông góc với $BC:$ \[{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AH = \dfrac{{2.{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \dfrac{{4{a^2}}}{a} = 4a\]
Ta có: \[SA \bot \left[ {ABC} \right] \Rightarrow SA \bot BC\]
Lại có \[AH \bot BC\] nên \[BC \bot \left[ {SAH} \right] \Rightarrow BC \bot SH\]
Do đó khoảng cách từ $S$ đến $BC$ chính là $SH.$
Dựa vào tam giác vuông \[\Delta SAH\] ta có \[SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{[3a]}^2} + {{[4a]}^2}} = 5a\]