Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại một số công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn và đặc biệt vận dụng các công thức này để giải các bài tập liên quan để rèn kỹ năng giải toán vận dụng công thức.
1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
cosα = cạnh kề/cạnh huyền
tanα = cạnh đối/cạnh kề
cotα = cạnh kề/cạnh đối
* Cách nhớ gợi ý: Sin=Đối/Huyền;Cos=Kề/Huyền;Tan=Đối/Kề;Cot-Kề/Đối nên cách nhớ như sau:SinĐiHọc,CosKhôngHư,TanĐoànKết,CotKếtĐoàn.
Ngoài ra khi giải các bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn các em cũng sẽ vận dụng các công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông.
2. Các dạng bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn
° Dạng 1: Tính các tỉ số lượng giác của góc
* Ví dụ 1 [Bài 15 trang 77 SGK Toán 9 Tập 1]:Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cosB = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.
* Lời giải:
- Ta có: Góc B và góc C là 2 góc phụ nhau, tức là:
B + C = 90onên sinC = cosB = 0,8
- Từ công thứcsin2C + cos2C = 1 ta suy ra:
- Lại có:
- Vật sinC = 0,8; cosC = 0,6; tanC = 4/3; cotC = 0,75.
* Ví dụ 2 [Bài 16 trang 77 SGK Toán 9 Tập 1]:Cho tam giác vuông có một góc 60ovà cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60o.
- Như minh họa hình trên, cạnh đối diện với góc 600 là AC, ta có:
* Ví dụ [Bài 17 trang 77 SGK Toán 9 Tập 1]:Tìm x trong hình:
- Ta ký hiệu như hình trên.
- Vì B = 45onênHAB = 90o- 45o=45o[góc B, và góc HAB phụ nhau trong tam giác vuông ABH]
Suy ra tam giác ABH là tam giác vuông cân tại H, nên AH = HB = 20
- Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AHC có:
x2= AH2+ HC2= 202+ 212= 841
° Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức
* Ví dụ 1:Chứng minh các đẳng thức sau:
a] cos4α- sin4α = cos2α - sin2α
b] sin4α+ cos2α.sin2α + sin2α = 2sin2α
* Lời giải:
a] cos4α- sin4α = cos2α - sin2α
- Ta biến đổi vế phải của đẳng thức:
VP =cos4α- sin4α = [cos2α]2 - [sin2α]2
= [cos2α - sin2α][sin2α + cos2α]
=[cos2α - sin2α].1 = cos2α - sin2α = VT
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b] sin4α + cos2α.sin2α + sin2α =2sin2α
- Ta có:
VP = sin4α + cos2α.sin2α + sin2α
= sin2α.[sin2α + cos2α + 1]
= sin2α.[1+ 1] = 2.sin2α = VT
Vậy đẳng thức được chứng minh.
* Ví dụ 2:Tam giác nhọn ABC có diện tích S, đường cao AH = h. Cho biết S = h2, Chứng minh rằng cotB + cotC = 2.
- Theo công thức tính diện tích tam giác thì:
- Theo bài ra thì SABC = h2 nên ta có:
- Mà
Vậy ta có điều phải chứng minh.
° Dạng 3:Tính giá trị của biểu thức
* Ví dụ :Tính giá trị của các biểu thức sau mà không dùng bảng số hoặc máy tính
a] A = sin2150+ sin2250+ sin2350+ sin2450+ sin2550+ sin2650+ sin2750
b] B = 4cos2α - 3sin2α với cosα = 4/7.
* Lời giải:
a] A = sin2150+ sin2250+ sin2350+ sin2450+ sin2550+ sin2650+ sin2750
=[sin2150+ sin2750] + [sin2250+ sin2650] + [sin2350+ sin2550] + sin2450
= [sin2150+ cos2150] + [sin2250+ cos2250] + [sin2350+ cos2350] + sin2450
= 1 + 1 + 1 + 1/2 = 7/2
b] B = 4cos2α - 3sin2α với cosα = 4/7
- Ta có: sin2α + cos2α = 1
sin2α = 1 - cos2α = 1 - [4/7]2= 33/49
- Suy ra: B = 4cos2α - 3sin2α = 4.[16/49] - 3.[33/49] = -5/7.
° Dạng 4:Chứng minh biểu thức không phụ thuộc giá trị của góc nhọn
* Ví dụ:Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β
a] cos2α.cos2β + cos2α.sin2β + sin2α
b] 2[sinα - cosα]2- [sinα + cosα]2+ 6sinα.cosα
c] [tanα - cotα]2- [tanα + cotα]2
* Lời giải:
a] cos2α.cos2β + cos2α.sin2β + sin2α
= cos2α[cos2β + sin2β] + sin2α
= cos2α.1 + sin2α= 1
b] 2[sinα - cosα]2- [sinα + cosα]2+ 6 sinα.cosα
= 2[sin2α+ cos2α - 2sinα.cosα] - [sin2α+ cos2α + 2sinα.cosα] + 6sinα.cosα
= 2[1 - 2sinα.cosα] - [1 + 2sinα.cosα] + 6sinα.cosα
= 1 - 6sinα.cosα + 6sinα.cosα= 1
c] [tanα - cotα]2- [tanα + cotα]2
= [tan2α - 2.tanα.cotα + cot2α] - [tan2α + 2tanα.cotα + cot2α]
= -4 tanα.cotα= -4.1 = -4
+ Nếu không khai triển dạng hẳng đẳng thức dạng [A-B]2 và [A+B]2 như trên, các em có thể sử dụng dạng A2 - B2 = [A - B][A + B], khi đó:
[tanα - cotα]2- [tanα + cotα]2
= [[tanα - cotα] -[tanα + cotα]][[tanα - cotα]+ [tanα + cotα]]
= [-2cotα].[2tanα] = -4.cotα.tanα = -4.1 = -4.