Cách chứng minh một điểm là trực tâm của tam giác

Xác định trực tâm trong tam giác và các tính chất quan trọng cần nhớ

Bài học hôm nay cunghocvui xin giới thiệu tới các bạn khái niệm về trực tâm và các tính chất quan trọng trong tam giác. Để hiểu rõ hơn về chủ đề hôm nay mời bạn cùng tham khảo bài học dưới đây!

I. Lý thuyết về trực tâm của tam giác

    1. Trực tâm là gì?

Ba đường xuất phát từ 3 đỉnh của tam giác và vuông góc vs cạnh đối diện sẽ giao nhau tại 1 điểm gọi là TT. Vì vậy giao điểm của ba đường cao trong tam giác chính là trực tâm của tam giác.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó + Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông 

+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó 

Công thức liên quan:

• Bài 4. Phép thử và biến cố

• Bài 5. Xác suất và biến cố

    2. Tính chất của trực tâm

• Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới TT.
• Trực tâm tam giác vuông chính là đỉnh góc vuông của tam giác vuông đó.
• Nếu tam giác đã cho là tam giác cân thì đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của đỉnh tam giác cân đó.
• Trong tam giác đều, trực tâm cũng đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.
• Định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của TT qua cạnh tương ứng.

II. Bài tập về trực tâm tam giác

Bài tập: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

   a] Chứng minh: \[JT⊥EF\]

   b] Chứng minh:  \[IE⊥JE\]

   c] Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

   d] Gọi P;Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

   Chứng minh: P;F;E;Q thẳng hàng.

Lời giải:

a] Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có:

\[FI = \dfrac{1}{2}AH = EI\\FJ= \dfrac{1}{2}BC = EJ\]

Vậy IJ là đường trung trực của EF

b] \[\widehat E_1=\widehat H_1;\widehat E_3=\widehat {ECJ};\widehat H_1=\widehat {ECJ} \ nên \ \widehat H_1=\widehat {ECJ}\] [Cùng phụ góc EAH]

Vậy \[\widehat E_1=\widehat E_3\]

\[\widehat {IEJ}=\widehat E_1+\widehat E_2=\widehat E_3+\widehat E_2=90^0\]

c]Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp [đpcm]

d] H là giao điểm 3 phân giác của tam giác EFD

Góc PFB = BFD

Góc DFH = EFH

4 góc này cộng lại = 2.90 =180 => P,E,F thẳng hàng

Tương tự ta có F, E, Q thẳng hàng.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn [ABC].

Bài 2: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF. Trực tâm H.DF cắt BH tại M, DE cắt CH tại N. chứng minh đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác HBC.

Bài 2: Cho tam giác ABC có H là trực tâm. P là điểm bất kì trong tam giác đó. Gọi \[A_1B_1C_1\] là tam giác Pedal của P với tam giác ABC. Trên HA, HB, HC lấy các điểm \[A_2,B_2,C_2\] sao cho \[AA_2=2PA_1\], \[BB_2=2PB_1\], \[CC_2=2PC_1\]. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác \[A_2B_2C_2\].

Xem ngay: Bài 9. Tính chất ba đường cao của tam giác

Hy vọng với những kiến thức tổng hợp trên bạn đã hiểu được khái niệm trực tâm là gì và cách giải các bài tập liên quan. Cunghocvui hy vọng chúng sẽ là những kiến thức hữu ích dành cho bạn. Nếu thấy hay nhớ like và chia sẻ nhé!

Phương pháp chứng minh hình học THCS

• Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
• 8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song
• 10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc
• 10 cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
• 13 cách chứng minh hai góc bằng nhau
• 8 cách chứng minh tia Oz là tia phân giác của góc xÔy
• 7 cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
• Phương pháp chứng minh các tam giác đặc biệt
• Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
• Phương pháp chứng minh các tứ giác đặc biệt
• 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
• Phương pháp chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng
• 2 cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
• 4 cách chứng minh hai cung tròn bằng nhau
• 15 cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
• 7 cách chứng minh một đoạn thẳng bằng 1/2 đoạn thẳng khác
• 4 cách chứng minh một góc bằng nửa góc khác
• 5 cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
• Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng
• Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau
• Cách chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác
• Chứng minh một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp tam giác
• Chứng minh các quan hệ không bằng nhau [cạnh – góc – cung]

Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC

Để chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta dùng một trong 2 cách:

• Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.
• Chứng minh G thuộc trung tuyến và chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1.

Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC

Để chứng minh điểm H là trung trực của tam giác ABC thì ta:

• 50 bài toán hình học ôn thi vào lớp 10 có lời giải
• Cách giải bài toán BĐT và tìm GTNN, GTLN trong đề thi vào 10 môn Toán
• Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hệ phương trình
• Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hàm số
• Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp ghép cặp

• Chứng minh H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác.

Series Navigation>

Tính chất trực tâm là chủ đề quan trọng trong kiến thức Toán học đối với các em học sinh. Vậy trực tâm của một tam giác là gì? Cách chứng minh tính chất trực tâm của tam giác? Tính chất trực tâm trong tam giác nhọn có gì đặc biệt? Các dạng toán liên quan đến trực tâm tam giác?… Trong phạm vi bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề tính chất trực tâm của tam giác cũng như những nội dung liên quan nhé!

Đường cao của một tam giác là gì?

Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao.

Xem chi tiết >>> Đường cao là gì? Tính chất và Công thức tính đường cao trong tam giác

Tính chất ba đường cao của tam giác

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Trong hình ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.

• Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
• Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
• Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
• Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
• Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

***Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

Trực tâm là gì? Tính chất trực tâm của tam giác

Bài 1: Cho hình sau đây

1. Chứng minh \[NS \perp LM\]
2. Khi \[\widehat{LNP} = 50^{\circ}\], hãy tính góc MSP và góc PSQ

Cách giải:

1. Trong \[\Delta NML\] có :

\[LP \perp MN\] nên LP là đường cao

\[MQ \perp NL\] nên MQ là đường cao

mà \[PL\cap MQ = \left \{ S \right \}\]

suy ra S là trực tâm của tam giác nên đường thằng SN chứa đường cao từ N hay \[NS \perp LM\]

    2. \[\Delta NMQ\] vuông tại Q có:

\[\widehat{LNP} = 50^{\circ}\] nên:

\[\widehat{QMN} = 40^{\circ}\]

\[\Delta MPS\] vuông tại Q có:

\[\widehat{QMN} = 40^{\circ}\] nên:

\[\widehat{MSP} = 50^{\circ}\]

Suy ra

\[\widehat{PSQ} = 130^{\circ}\] [kề bù]

Bài 2: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.

Cách giải:

Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, AC, AB tại N, M, E

\[\Delta HBC\] có:

\[HN \perp BC\] nên HN là đường cao

\[BE \perp HC\] nên BE là đường cao

\[CM \perp BH\] nên CM là đường cao

Vậy A là trực tâm của \[\Delta HBC\]

Bài 3: Cho đường tròn [O, R] , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.

Cách giải:

Vẽ đường kính \[BB_{1}\]

Vì \[AB_{1} \parallel HC\]

\[AH \parallel B_{1}C\]

\[\Rightarrow AHCB_{1}\] là hình bình hành

\[\Rightarrow \vec{AH} = \vec{B_{1}C}\]

B, C cố định nên \[\vec{B_{1}C}\] không đổi.

Như vậy, \[H = T_{\vec{B_{1}C}}[A]\]

Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn \[C’ [O’,R’]\], chính là ảnh của đường tròn \[C [O,R]\] qua phép tịnh tiến \[T_{\vec{B_{1}C}}\].

Bài 4: Cho  △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

1. Chứng minh: \[IJ \perp EF\]
2. Chứng minh: \[IE \perp JE\]

Cách giải:

1. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có:

\[FI = \frac{1}{2}AH = EI\]

\[FJ = \frac{1}{2}BC = EJ\]

Vậy IJ là đường trung trực của EF

\[\Rightarrow IJ\perp EF\]

     2.

Ta có:

\[\widehat{E_{1}} = \widehat{H_{1}} = \widehat{ECJ}\]

\[\widehat{H_{1}} = \widehat{ECJ}\] [cùng phụ góc EAH]

Vậy \[\widehat{E_{1}} = \widehat{E_{3}}\]

\[\widehat{IEJ} = \widehat{E_{1}} + \widehat{E_{2}} = \widehat{E_{3}} + \widehat{E_{2}} = 90^{\circ}\]

\[\Rightarrow IE \perp JE\]

Trên đây, DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề tính chất trực tâm trong tam giác. Hy vọng những kiến thức trên hữu ích với bạn trong quá trình học tập. Nếu có bất cứ câu hỏi nào liên quan đến chủ đề tính chất trực tâm, đừng quên để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé! Nếu hay đừng quên share nha!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

[Nguồn: www.youtube.com]12

Please follow and like us: