Tìm cực trị của các hàm số sau. Bài 11 trang 16 và 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao – Bài 2. Cực trị của hàm số
Advertisements [Quảng cáo]
Bài 11. Tìm cực trị của các hàm số sau:
- \[f\left[ x \right] = {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x – 1\];
- \[f\left[ x \right] = {1 \over 3}{x^3} – {x^2} + 2x – 10\]
- \[f\left[ x \right] = x + {1 \over x}\];
- \[f\left[ x \right] = \left| x \right|\left[ {x + 2} \right];\]
- \[f\left[ x \right] = {{{x^5}} \over 5} – {{{x^3}} \over 3} + 2\];
- \[f\left[ x \right] = {{{x^2} – 3x + 3} \over {x – 1}}\]
- TXĐ: \[D=\mathbb R\]
\[f’\left[ x \right] = {x^2} + 4x + 3;\,f’\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = – 1 \hfill \cr x = – 3 \hfill \cr} \right.;f\left[ { – 1} \right] = – {7 \over 3};\,f\left[ { – 3} \right] = – 1\]
Hàm số đạt cực đại tại điểm \[x = – 3\], giá trị cực đại của hàm số là \[f\left[ { – 3} \right] = – 1\]
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[x = – 1\], giá trị cực tiểu của hàm số là \[f\left[ { – 1} \right] = – {7 \over 3}\]
- TXĐ: \[D=\mathbb R\]
\[f’\left[ x \right] = {x^2} – 2x + 2 > 0\] với mọi \[x \in\mathbb R\] [vì \[a > 0,\Delta ‘ < 0\]]
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb R\] , không có cực trị.
- TXĐ: \[D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\]
\[f’\left[ x \right] = 1 – {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} \over {{x^2}}};f’\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\,\,\,\,;f\left[ 1 \right] = 2 \hfill \cr x = – 1;f\left[ { – 1} \right] = – 2 \hfill \cr} \right.\]
Hàm số đạt cực đại tại điểm \[x=-1\], giá trị cực đại \[f\left[ { – 1} \right] = – 2\]. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[x=1\], giá trị cực tiểu \[f\left[ 1 \right] = 2\].
- TXĐ: \[D=\mathbb R\] Hàm số liên tục trên \[\mathbb R\]
\[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{ x\left[ {x + 2} \right]\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr – x\left[ {x + 2} \right]\,\,\,\,\,x < 0\, \hfill \cr} \right.\]
Với \[x > 0:\,f’\left[ x \right] = 2x + 2 > 0\] với mọi \[x>0\]
Với \[x < 0:\,f’\left[ x \right] = – 2x – 2\,;\,\,f’\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = – 1\]
\[f\left[ { – 1} \right] = 1\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x=-1\], giá trị cực đại \[f\left[ { – 1} \right] = 1\]. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[x=0\], giá trị cực tiểu \[f\left[ 0 \right] = 0\]
- TXĐ: \[D=\mathbb R\]
\[f’\left[ x \right] = {x^4} – {x^2} = {x^2}\left[ {{x^2} – 1} \right]\]
\[f’\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0;f\left[ 0 \right] = 2 \hfill \cr x = – 1;f\left[ { – 1} \right] = {{32} \over {15}} \hfill \cr x = 1;f\left[ 1 \right] = {{28} \over {15}} \hfill \cr} \right.\]
Hàm số đạt cực đại tại điểm \[x=-1\], giá trị cực đại \[f\left[ { – 1} \right] = {{32} \over {15}}\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=1\], giá trị cực tiểu \[f\left[ 1 \right] = {{28} \over {15}}\]
- TXĐ: \[D = {\bf{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\]
\[y’\left[ x \right] = {{\left[ {2x – 3} \right]\left[ {x – 1} \right] – \left[ {{x^2} – 3x + 3} \right]} \over {{{\left[ {x – 1} \right]}^2}}} = {{{x^2} – 2x} \over {{{\left[ {x – 1} \right]}^2}}}\]
Vì \[0 \le {\sin ^2}2x \le 1\] nên: \[\,\,f\left[ x \right] \le 1\] với mọi \[x \in {\mathbb{R}},f\left[ 0 \right] = 1\]. Vậy \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = 1\]
\[*\,\,\,f\left[ x \right] \ge {1 \over 2}\] với mọi \[x \in {\mathbb{R}},f\left[ {{\pi \over 4}} \right] = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\]
Vậy \[\mathop {\min f\left[ x \right]}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = {1 \over 2}\].
Bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
- \[f\left[ x \right] = {x^2} + 2x - 5\] trên đoạn \[\left[ { - 2;3} \right]\];
- \[f\left[ x \right] = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x - 4\] trên đoạn \[\left[ { - 4;0} \right]\];
- \[f\left[ x \right] = x + {1 \over x}\] trên đoạn \[\left[ {0; + \infty } \right]\];
- \[f\left[ x \right] = - {x^2} + 2x + 4\] trên đoạn \[\left[ {2;4} \right]\];
- \[f\left[ x \right] = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\] trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\];
- \[f\left[ x \right] = x - {1 \over x}\] trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\];
Giải
- \[D = \left[ { - 2;3} \right];f'\left[ x \right] = 2x + 2;f'\left[ x \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow x=- 1 \in \left[ { - 2;3} \right]\]
Ta có: \[f\left[ { - 2} \right] = - 5;f\left[ { - 1} \right] = - 6;f\left[ 3 \right] = 10\].
Vậy: \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} = - 6;\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,f\left[ x \right] = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} \].
b]
\[D = \left[ { - 4;0} \right];\,f'\left[ x \right] = {x^2} + 4x + 3;f'\left[ x \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\]
Ta có: \[f\left[ { - 4} \right] = - {{16} \over 3};f\left[ { - 1} \right] = - {{16} \over 3};\]
\[f\left[ { - 3} \right] = - 4;f\left[ 0 \right] = - 4\]
Vậy \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - {{16} \over 3};\,\,\mathop {\max \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - 4\].
- \[D = \left[ {0; + \infty } \right];f'\left[ x \right] = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}}\]với mọi \[x \ne 0,f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
\[x=1\in \left\{ {0; + \infty } \right.]\]
\[x=-1\not\in \left\{ {0; + \infty } \right.]\]
\[\mathop {\min \,\,f\left[ x \right] = f\left[ 1 \right]}\limits_{x \in \left[ {0; + \infty } \right]} = 2\]. Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
- \[D = \left[ {2;4} \right];f'\left[ x \right] = - 2x + 2;f'\left[ x \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\]
Ta có: \[f\left[ 2 \right] = 4;f\left[ 4 \right] = - 4\]
Vậy \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = - 4;\,\] \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = 4\].
e]
\[D = \left[ {0;1} \right];f'\left[ x \right] = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}};f'\left[ x \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr x = - 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\]
Ta có: \[f\left[ 0 \right] = 2;f\left[ 1 \right] = {{11} \over 3}\]
Vậy \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = 2;\] \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over 3}\]
- \[D = \left[ {0;2} \right];f'\left[ x \right] = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\] với mọi \[x \in \left[ {0;2} \right];f\left[ 2 \right] = {3 \over 2}\]
\[\mathop {\,\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} = {3 \over 2}\] . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \[\left[ {0;2} \right]\].
Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
- \[y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1\]
- \[y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\]
Giải
- Đặt \[t = \sin x, - 1 \le t \le 1\]
\[y = f\left[ t \right] = 2{t^2} + 2t - 1\]
Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left[ t \right]\] trên đoạn \[\left[ { - 1;1} \right]\]. Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \[\mathbb R\].
\[f'\left[ t \right] = 4t + 2;f'\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 2}\]
Ta có: \[f\left[ { - 1} \right] = - 1;f\left[ { - {1 \over 2}} \right] = - {3 \over 2};f\left[ 1 \right] = 3\]
\[\mathop {\min \,\,f\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = 3\]
Vậy \[\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{81} \over {16}}\].