- Bài 3.1
- Bài 3.2
Bài 3.1
Tìm \[a\] và \[b\] để hệ
\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = 17} \cr
{3bx + ay = - 29} \cr} } \right.\]
có nghiệm là \[[x; y] = [1; -4]\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cặp số\[[{x_0};{y_0}]\] là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x +b'y = c'} \cr} } \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a{x_0} + b{y_0} = c} \cr
{a'{x_0} +b'{y_0} = c'} \cr} } \right.\]
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế[coi \[a, b\] là ẩn]:
+ Bước 1:Rút \[a\] hoặc \[b\] từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.
+ Bước 2:Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Lời giải chi tiết:
Để \[[x; y] = [1; -4]\] là nghiệm của hệ phương trình đã cho, ta thay \[x = 1;\]\[ y = -4\] vào hệ phương trình ta có:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a - 4b = 17} \cr
{3b - 4a = - 29} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 4b + 17} \cr
{3b - 4\left[ {4b + 17} \right] = - 29} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 4b + 17} \cr
{3b - 16b - 68 = - 29} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 4b + 17} \cr
{ - 13b = 39} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 4b + 17} \cr
{b = - 3} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 5} \cr
{b = - 3} \cr} } \right. \cr} \]
Vậy \[a = 5; b = -3.\]
Bài 3.2
Giải hệ phương trình:
\[\left\{ {\matrix{
{2x - y = 5} \cr
{\left[ {x + y + 2} \right]\left[ {x + 2y - 5} \right] = 0} \cr} } \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cách giải phương trình tích:
\[A[x].B[x] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
A[x] = 0 \hfill \\
B[x] = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế :
+ Bước 1:Rút \[x\] hoặc \[y\] từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.
+ Bước 2:Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[[x + y + 2][x + 2y - 5] = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x + y + 2 = 0 \hfill \\
x + 2y - 5 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Khi đó ta có thể viết hệ đã cho thành hai hệ phương trình:
\[\left\{ {\matrix{
{2x - y = 5} \cr
{x + y + 2 = 0} \cr} } \right.\]
hoặc
\[\left\{ {\matrix{
{2x - y = 5} \cr
{x + 2y - 5 = 0} \cr} } \right.\]
Giải hệ:
\[\left\{ {\matrix{
{2x - y = 5} \cr
{x + y + 2 = 0} \cr} } \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 2x - 5} \cr
{x + 2x - 5 + 2 = 0} \cr} } \right.\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 2x - 5} \cr
{3x - 3 = 0} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 2x - 5} \cr
{x = 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 3} \cr
{x = 1} \cr} } \right. \cr} \]
Giải hệ:
\[\left\{ {\matrix{
{2x - y = 5} \cr
{x + 2y - 5 = 0} \cr} } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 2x - 5} \cr
{x + 2\left[ {2x - 5} \right] - 5 = 0} \cr} } \right.\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow\left\{ {\matrix{
{y = 2x - 5} \cr
{5x - 15 = 0} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 2x - 5} \cr
{x = 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 1} \cr
{x = 3} \cr} } \right. \cr} \]
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:
\[\left[ {{x_1};{y_1}} \right] = \left[ {1; - 3} \right]\] ; \[\left[ {{x_2};{y_2}} \right] = \left[ {3;1} \right]\].